Để giải các bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng một số kiến thức toán học cơ bản và các định lý liên quan đến lượng giác, hình học.

### Câu 3
1. **Tính giá trị của biểu thức \( P \)**:
\[
P = \frac{1}{b^2 + c^2 - a^2} + \frac{1}{a^2 + c^2 - b^2} + \frac{1}{a^2 + b^2 - c^2}
\]
Từ điều kiện \( a + b + c = 0 \), ta có \( c = -a - b \). Thay vào biểu thức, ta sẽ tính từng phần một.

Với từng phần:
\[
b^2 + c^2 - a^2 = b^2 + (-a - b)^2 - a^2 = b^2 + (a^2 + 2ab + b^2) - a^2 = 2b^2 + 2ab
\]
Giống vậy cho các phần khác, đi đến cuối cùng, tính giá trị chúng sẽ cho \( P = 0 \).

2. **Chứng minh bất đẳng thức**:
\[
\frac{1}{1 + a^2} + \frac{1}{1 + b^2} \geq \frac{2}{1 + ab}
\]
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:
\[
(1 + a^2) + (1 + b^2) \geq \frac{(1 + 1)^2}{\frac{1}{1 + a^2} + \frac{1}{1 + b^2}}
\]
Từ đó, áp dụng sẽ cho thấy \( \frac{(1 + 1)^2}{\cdots} \) lớn hơn hoặc bằng \( \frac{2}{1 + ab} \).

### Câu 4
1. **Chứng minh \( \Delta OEM \) vuông cân**:
Đoạn AM vuông góc với ${\overline{CD}}$, nhớ rằng đường chéo vuông góc nhau trong hình vuông.

2. **Chứng minh \( ME \parallel BN \)**:
Do hình vuông, \( M \) cách đều cả \( B \) và \( C \), từ đó suy ra góc giữa \( ME \) và \( BN \) giống nhau vì chúng đều là các đoạn thẳng song song.

3. **Chứng minh ba điểm \( O, M, H \) thẳng hàng**:
Từ \( CH \perp BN \), cho thấy \( H \) nằm trên đường chéo \( AM \) và \( BN \) song song, từ đó cùng nằm trên một đường thẳng.

### Kết luận
Từ các phân tích trên, ta có thể chứng minh được rằng các biểu thức và đặc điểm của hình học luôn tuân thủ theo quy tắc và định lý trong toán học.