Hỏi mỗi bạn lấy được bao nhiêu bút chì màu?

Gọi số bút chì màu An lấy được trong lần thứ nhất là \( a_1 \) và số bút chì Nhĩên lấy được là \( n_1 \). Theo đề bài, chúng ta có:

\[
a_1 = \frac{2}{3} n_1
\]

Trong lần thứ nhất, tổng số bút chì được lấy là:

\[
a_1 + n_1 = \frac{2}{3} n_1 + n_1 = \frac{5}{3} n_1
\]

Gọi số bút chì còn lại trong hộp sau lần thứ nhất là \( x \). Khi đó, ta có:

\[
32 - \frac{5}{3} n_1 = x \quad (1)
\]

Trong lần thứ hai, gọi số bút chì An lấy được là \( a_2 \) và số bút chì Nhĩên lấy được là \( n_2 \). Theo đề bài, ta có:

\[
a_2 = \frac{1}{2} n_2
\]

Tổng số bút chì trong lần thứ hai là:

\[
a_2 + n_2 = \frac{1}{2} n_2 + n_2 = \frac{3}{2} n_2
\]

Vì trong hộp còn lại hết bút chì sau lần thứ hai, nên:

\[
x - \frac{3}{2} n_2 = 0 \quad (2)
\]

Từ phương trình (2), ta có:

\[
x = \frac{3}{2} n_2
\]

Thay giá trị của \( x \) vào phương trình (1):

\[
32 - \frac{5}{3} n_1 = \frac{3}{2} n_2
\]
\[
32 = \frac{5}{3} n_1 + \frac{3}{2} n_2 \quad (3)
\]

Như vậy, ta sẽ có hệ phương trình gồm phương trình (1) và (3):

1. \( a_1 = \frac{2}{3} n_1 \)
2. \( a_2 = \frac{1}{2} n_2 \)
3. \( 32 = \frac{5}{3} n_1 + \frac{3}{2} n_2 \)

Ta sẽ diễn giải hai phương trình tìm \( n_1 \) và \( n_2 \). Từ (1), ta có thể giải hệ hai phương trình với hai ẩn \( n_1 \) và \( n_2 \).

Để đơn giản tính toán, ta sẽ nhân phương trình (3) với 6 để loại bỏ mẫu số:

\[
32 \cdot 6 = 10 n_1 + 9 n_2
\]
\[
192 = 10 n_1 + 9 n_2 \quad (4)
\]

Giải từ phương trình (4). Lấy một giá trị cho \( n_1 \) và tìm \( n_2 \):

Giả dụ \( n_1 = 6 \):

\[
192 = 10 \cdot 6 + 9 n_2
\]
\[
192 = 60 + 9 n_2
\]
\[
132 = 9 n_2 \rightarrow n_2 = \frac{132}{9} = 14.67 \quad (hơi bất khả thi).
\]

Tiếp tục áp dụng giá trị khác cho \( n_1 = 12 \):

\[
192 = 10 \cdot 12 + 9 n_2
\]
\[
192 = 120 + 9 n_2 \\
72 = 9 n_2 \rightarrow n_2 = 8.
\]

Rồi từ giá trị này tìm \( a_1 \) và \( a_2 \):

\[
a_1 = \frac{2}{3} n_1 = \frac{2}{3} \cdot 12 = 8.
\]
\[
a_2 = \frac{1}{2} n_2 = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4.
\]

Cuối cùng, từ đó có thể nói được rằng mỗi bạn đã lấy được:

- An: 8 + 4 = 12 bút chì màu.
- Nhĩên: 12 + 8 = 20 bút chì màu.

Vậy sau cùng, An lấy được 12 bút chì màu và Nhĩên lấy được 20 bút chì màu.