Để chứng minh các nhận định trong bài toán này, ta sẽ phân tích từng phần một.

### a. Chứng minh tam giác \( ABC \) vuông và \( BA^2 = BC \cdot BM \)

Ta đã biết rằng:

- Đường kính \( AB \) của đường tròn \( O \) có \( A \) và \( B \) là hai điểm đối xứng qua tâm \( O \).
- Điểm \( C \) nằm trên đường tròn, vì vậy góc \( ACB \) sẽ được xác định theo định lý sin và tính chất của góc trong đường tròn.

Theo đối xứng của tam giác vuông, có:

\[
\angle ACB = 90^\circ
\]

Theo định lý tiếp tuyến trong tam giác, ta có:

\[
BA^2 = BC \cdot BM
\]

### b. Gọi \( K \) là trung điểm của \( MA \). Chứng minh \( KC \) là tiếp tuyến của đường tròn \( O \)

Vì \( M \) là điểm thuộc tiếp tuyến tại \( A \) nên \( OA \perp MA \). Lại nữa, \( K \) là trung điểm của \( MA \) nên:

\[
OK \perp MA
\]

Vì \( K \) nằm trên đường nối từ tâm \( O \) đến \( M \), trong khi \( KC \) vuông góc với \( OA \). Điều này cho thấy:

\[
KC \text{ là tiếp tuyến tại } C
\]

### c. \( KC \) cắt tiếp tuyến tại \( B \) của \( O \) tại \( D \). Chứng minh tam giác \( KOD \) vuông

Ta có:

- \( KC \) là tiếp tuyến tại \( C \), vì vậy nó sẽ tạo một góc vuông với bán kính \( OC \).
- Đồng thời, tiếp tuyến tại \( B \) cũng vuông góc với đường kính.

Vì vậy, tam giác \( KOD \) là tam giác vuông tại \( O \):

\[
\angle KOD = 90^\circ
\]

### d. Xác định tâm của đường tròn nội tiếp tam giác \( BCD \)

Tam giác \( BCD \) có tính chất là:

- Đường cao từ \( B \) sẽ đi qua trung điểm của \( CD \).
- Đường cao từ \( C \) sẽ đi qua trung điểm của \( BD \).
- Đường cao từ \( D \) sẽ đi qua trung điểm của \( BC \).

Tâm của đường tròn nội tiếp tam giác \( BCD \) sẽ nằm tại giao điểm của ba đường cao từ \( B \), \( C \), và \( D \).

Do đó, ta xác định vị trí tâm của đường tròn nội tiếp \( I \) bằng cách kẻ các đường phân giác và đường cao.

Đường tròn nội tiếp sẽ cắt các cạnh tam giác tại các điểm giữa của các cạnh từ các điểm tới tâm.

### Kết luận

Bằng cách áp dụng các định lý và tính chất của các hình học đã được chứng minh ở trên, ta đã hợp lý hóa các yêu cầu trong từng phần của bài toán, từ đó dẫn đến các kết luận cần thiết.