Chúng ta có thể giải bài toán như sau:

**a) Chứng minh DE = BC**

- Trong tam giác vuông \( \Delta ABC \), với \( A \) là góc vuông, ta có:
\[
BC^2 = AB^2 + AC^2
\]

- Theo giả thiết, \( AD = AB \) và \( AE = AC \).

- Ta cần chứng minh \( DE = BC \). Xét tam giác \( \Delta ADE \):
- \( AD = AB \) và \( AE = AC \) nên:
\[
DE^2 = AD^2 + AE^2 = AB^2 + AC^2 = BC^2
\]

- Do đó, \( DE = BC \).

**b) Chứng minh DE vuông góc với BC**

- Trong tam giác \( \Delta ADE \):
- Ta đã có \( AD = AB \) và \( AE = AC \).
- Xét vector \( \overrightarrow{AD} \) và \( \overrightarrow{AE} \):
- \( \overrightarrow{AD} \) vuông góc với \( \overrightarrow{AB} \).
- Tương tự, \( \overrightarrow{AE} \) vuông góc với \( \overrightarrow{AC} \).

- Vì \( AB \) vuông góc với \( AC \), nên \( DE \) sẽ vuông góc với \( BC \).

**c) Tính AED khi biết \( 4\hat{B} = 5\hat{C} \)**

- Gọi \( \hat{B} = x \) và \( \hat{C} = y \), từ giả thiết có:
\[
4x = 5y \implies y = \frac{4}{5}x
\]

- Theo định lý tổng các góc trong tam giác \( \Delta ABC \):
\[
x + y + 90^\circ = 180^\circ \implies x + \frac{4}{5}x = 90^\circ \implies \frac{9}{5}x = 90^\circ \implies x = 50^\circ
\]

- Do đó, \( \hat{C} = \frac{4}{5} \cdot 50^\circ = 40^\circ \).

- Từ đó, góc \( \hat{A} + \hat{B} + \hat{C} = 90^\circ + 50^\circ + 40^\circ = 180^\circ \).

- Góc \( \hat{AED} \) là một góc ngoài của tam giác \( \Delta ABC\), được tính như sau:
\[
\hat{AED} = \hat{B} + \hat{C} = 50^\circ + 40^\circ = 90^\circ
\]

Kết quả là \( \hat{AED} = 90^\circ \).