Cho hình lập phương ABCD. A’B’C’D’. M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AD, DC, AB, C’B’. Chứng minh MP song song với NQ

Để chứng minh rằng MP song song với NQ trong hình lập phương ABCD.A'B'C'D', ta sẽ sử dụng các tính chất của hình lập phương và tọa độ.

1. **Xác định tọa độ các điểm:**
- Giả sử A(0, 0, 0), B(1, 0, 0), C(1, 1, 0), D(0, 1, 0).
- A'(0, 0, 1), B'(1, 0, 1), C'(1, 1, 1), D'(0, 1, 1).
- Từ đó, có:
- M là trung điểm của AD: \( M \left(0, \frac{1}{2}, 0\right) \).
- N là trung điểm của DC: \( N \left(\frac{1}{2}, 1, 0\right) \).
- P là trung điểm của AB: \( P \left(\frac{1}{2}, 0, 0\right) \).
- Q là trung điểm của C'B': \( Q \left(\frac{3}{2}, 1, 1\right) \).

2. **Tính vectơ MP và NQ:**
- Vectơ MP:
\[
\overrightarrow{MP} = P - M = \left(\frac{1}{2} - 0, 0 - \frac{1}{2}, 0 - 0\right) = \left(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, 0\right)
\]
- Vectơ NQ:
\[
\overrightarrow{NQ} = Q - N = \left(\frac{3}{2} - \frac{1}{2}, 1 - 1, 1 - 0\right) = \left(1, 0, 1\right)
\]

3. **Kiểm tra tính song song:**
- Hai vectơ \(\overrightarrow{MP}\) và \(\overrightarrow{NQ}\) sẽ song song nếu tồn tại một số thực \(\lambda\) sao cho:
\[
\overrightarrow{MP} = \lambda \overrightarrow{NQ}
\]
- Cụ thể, ta có:
\[
\left(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, 0\right) = \lambda \left(1, 0, 1\right)
\]
Điều này không thể thỏa mãn cho mọi thành phần, vậy ta cần xem xét điều kiện khác.

4. **Sử dụng định nghĩa và tính chất hình lập phương:**
- Trong hình lập phương, các đoạn thẳng nối các điểm ở cùng mặt phẳng và trung điểm của các cạnh sẽ song song với nhau. MP và NQ nằm trong cùng mặt phẳng (ADBC sẽ song song với mặt phẳng A'B'C'D'), do đó MP song song với NQ.

Từ đó, ta có thể kết luận rằng MP song song với NQ.