Biện luận phương trình theo m

Để biện luận các phương trình theo tham số \( m \), ta xem từng phương trình một.

1. **Phương trình đầu tiên**:

\[
x^2 - 2x - 5m = 0
\]

Đây là một phương trình bậc hai với \( a = 1 \), \( b = -2 \), \( c = -5m \).
* Để phương trình có nghiệm, cần điều kiện:
\[
\Delta = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5m) = 4 + 20m \geq 0
\]
=> \( 20m \geq -4 \)
=> \( m \geq -\frac{1}{5} \)

Nếu \( m = -\frac{1}{5} \), phương trình có nghiệm duy nhất. Nếu \( m > -\frac{1}{5} \), phương trình có hai nghiệm phân biệt.

2. **Phương trình thứ hai**:

\[
x^2 - 5x + m - 3 = 0
\]

Tương tự, ta có \( a = 1 \), \( b = -5 \), \( c = m - 3 \).
* Điều kiện có nghiệm:
\[
\Delta = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (m - 3) = 25 - 4(m - 3) \geq 0
\]
=> \( 25 - 4m + 12 \geq 0 \)
=> \( 37 - 4m \geq 0 \)
=> \( m \leq \frac{37}{4} \)

Nếu \( m = \frac{37}{4} \), phương trình có nghiệm duy nhất. Nếu \( m < \frac{37}{4} \), phương trình có hai nghiệm phân biệt.

3. **Phương trình thứ ba**:

\[
x^2 - 2x + m - 3 = 0
\]

Ta có \( a = 1 \), \( b = -2 \), \( c = m - 3 \).
* Điều kiện có nghiệm:
\[
\Delta = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (m - 3) = 4 - 4(m - 3) = 4 - 4m + 12 \geq 0
\]
=> \( 16 - 4m \geq 0 \)
=> \( m \leq 4 \)

Nếu \( m = 4 \), phương trình có nghiệm duy nhất. Nếu \( m < 4 \), phương trình có hai nghiệm phân biệt.

### Tóm tắt:

- Phương trình 1 có nghiệm khi \( m \geq -\frac{1}{5} \).
- Phương trình 2 có nghiệm khi \( m \leq \frac{37}{4} \).
- Phương trình 3 có nghiệm khi \( m \leq 4 \).

Từ đó, ta có thể tìm được khoảng giá trị của \( m \) để tất cả các phương trình có nghiệm.