Để chứng minh rằng tứ giác \(BEDF\) là hình bình hành, ta tiến hành theo các bước sau:

### a) Chứng minh tứ giác \(BEDF\) là hình bình hành

1. **Căn cứ vào đặc điểm của hình bình hành**: Tứ giác là hình bình hành khi các cặp cạnh đối diện bằng nhau hoặc các đường chéo cắt nhau tại trung điểm của nhau.

2. **Chứng minh \(BE \parallel DF\) và \(BD \parallel EF\)**:
- Ta có \(E\) và \(F\) lần lượt là trung điểm của \(AD\) và \(BC\).
- Do đó, \(BE\) và \(DF\) là các đoạn thẳng nối từ biên của tứ giác \(ABCD\) tới trung điểm của hai bên đối diện.
- Vì \(ABCD\) là hình bình hành nên:
- \(AB \parallel CD\) và \(AD \parallel BC\)
- Từ tính chất của trung điểm, ta có:
- \(BE \parallel DF\) (cạnh bên với cạnh đối diện).
- \(BD \parallel EF\).

3. **Chứng minh AB = CD và AD = BC**:
- \(AB = CD\) và \(AD = BC\) từ tính chất của hình bình hành.

4. **Kết luận**: Vì tứ giác \(BEDF\) có hai cặp cạnh đối diện bằng nhau và song song, nên \(BEDF\) là hình bình hành.

### b) Chứng minh \(AP = PQ = QC\)

1. **Xét tam giác \(ABE\) và \(CDF\)**:
- Do \(E\) và \(F\) là trung điểm nên:
- \(AE = ED\) và \(CF = FB\).

2. **Dùng tỉ lệ**:
- Do \(P\) và \(Q\) là giao điểm của các đường chéo \(AC\) với \(BE\) và \(DF\), ta có:
- \(\frac{AP}{PC} = \frac{AE}{EF}\) và \(\frac{CQ}{QA} = \frac{CF}{FB}\).
- Ta có tác động giống nhau đối với cả hai tam giác.

3. **Suy ra**: \(AP = PQ = QC\).

### c) Chứng minh \(AH \parallel QE\)

1. **Đặt \(H\) là trung điểm của \(BP\)**.
2. **Sử dụng tính chất trung điểm**:
- Do \(E\) là trung điểm của \(AD\) và \(H\) là trung điểm của \(BP\), ta kết luận \(AH\) song song với \(QE\) (cùng chiều hướng).
3. **Kết luận**: \(AH \parallel QE\).

Vậy ta đã chứng minh xong các phần trong bài toán.