Phân số nào dưới đây được viết thành tích 2/3A

Để giải bài toán này, trước tiên ta cần tính giá trị của \( A \).

\( A = 3^1 + 3^2 + 3^3 + \ldots + 3^{100} \) là một cấp số nhân với \( a_1 = 3^1 = 3 \), công bội \( q = 3 \) và có \( n = 100 \) số hạng. Công thức tổng của cấp số nhân là:

\[
S_n = \frac{a_1 (q^n - 1)}{q - 1}
\]

Áp dụng vào trường hợp này:

\[
A = \frac{3(3^{100} - 1)}{3 - 1} = \frac{3(3^{100} - 1)}{2}
\]

Rồi ta sẽ tính \( \frac{2}{3} A \):

\[
\frac{2}{3} A = \frac{2}{3} \cdot \frac{3(3^{100} - 1)}{2} = (3^{100} - 1)
\]

Bây giờ, ta sẽ xem xét các phân số dưới đây và tìm phân số nào tương đương với \( 3^{100} - 1 \):

1. \( \frac{3^{101} - 6}{2} \)
2. \( \frac{3^{101} - 3}{3} \)
3. \( \frac{3^{101} - 3}{6} \)

**Xét từng phân số:**

1. **Phân số 1:**
\[
\frac{3^{101} - 6}{2} = \frac{3(3^{100} - 2)}{2} = \frac{3^{101} - 6}{2}
\]
Không bằng \( 3^{100} - 1 \).

2. **Phân số 2:**
\[
\frac{3^{101} - 3}{3} = \frac{3(3^{100} - 1)}{3} = 3^{100} - 1
\]
Bằng \( 3^{100} - 1 \).

3. **Phân số 3:**
\[
\frac{3^{101} - 3}{6} = \frac{3(3^{100} - 1)}{6} = \frac{3^{100} - 1}{2}
\]
Không bằng \( 3^{100} - 1 \).

Vậy phân số tương đương với \( \frac{2}{3} A \) là:

\[
\frac{3^{101} - 3}{3}
\]