Để chứng minh tứ giác \( MEBF \) là hình thoi, ta cần chỉ ra rằng bốn cạnh của tứ giác này đều bằng nhau.

Giả sử:

- Gọi \( AM = DN = x \).
- Vì \( ABCD \) là hình bình hành, nên \( AB \parallel CD \) và \( AD \parallel BC \).
- Đường trung trực của \( BM \) cắt \( MN \) tại \( E \) và cắt \( BC \) tại \( F \).

### Các bước chứng minh:

1. **Tính độ dài các đoạn:**
- Vì \( AM = DN = x \), ta có \( AB = CD \).
- Do hình bình hành, có \( AB = CD \) và \( AD = BC \).

2. **Trung trực và các tính chất:**
- Đường trung trực \( BM \) đồng thời là đường phân giác của góc \( \angle ABM \) và tạo ra hai đoạn thẳng bằng nhau từ \( B \) đến \( E \) và \( F \).
- Do \( BE = EF \) (tính chất của đường trung trực).

3. **Xét các tam giác:**
- Ta có \( \triangle ABE \) và \( \triangle CDF \).
- Bằng sự đồng dạng của các hình, ta nhận thấy rằng \( AE = CF \) (vì chúng là đoạn trung bình) và \( AB = CD \).

4. **Kết luận:**
- Từ \( BE = EF \) và \( AE = CF \), ta có:
\[
MB = ME = MB = MF
\]
- Do đó, \( ME = MB = EF = MB \).
- Bằng cách đó, ta có thể kết luận rằng:
\[
MEBF \text{ là hình thoi}
\]

Như vậy, tứ giác \( MEBF \) là hình thoi, hoàn tất chứng minh.