Để tính tổng \( A = 3 + 3^2 + 3^3 + \ldots + 3^{2021} \) và tìm số dư của tổng này khi chia cho 13, ta sử dụng công thức tổng của một cấp số nhân:

\[
A = a \frac{(r^n - 1)}{(r - 1)}
\]

Trong đó:
- \( a = 3 \) (hạng đầu tiên)
- \( r = 3 \) (công bội)
- \( n = 2021 \) (số hạng)

Áp dụng vào công thức, ta có:

\[
A = 3 \frac{(3^{2021} - 1)}{(3 - 1)} = \frac{3^{2022} - 3}{2}
\]

Bây giờ, nhiệm vụ là tìm \( A \mod 13 \). Đầu tiên, ta sẽ tìm \( 3^{2022} \mod 13 \).

Theo định lý Fermat, \( a^{p-1} \equiv 1 \mod p \) với \( p \) là số nguyên tố. Do đó, \( 3^{12} \equiv 1 \mod 13 \).

Ta tính \( 2022 \mod 12 \):

\[
2022 \div 12 = 168 \quad \text{và dư} \, 6
\]

Vậy \( 2022 \equiv 6 \mod 12 \), suy ra \( 3^{2022} \equiv 3^6 \mod 13 \).

Tiếp theo, ta tính \( 3^6 \mod 13 \):

\[
3^2 = 9
\]
\[
3^4 = 9^2 = 81 \equiv 3 \mod 13
\]
\[
3^6 = 3^4 \cdot 3^2 = 3 \cdot 9 = 27 \equiv 1 \mod 13
\]

Bây giờ ta có:

\[
3^{2022} - 3 \equiv 1 - 3 = -2 \equiv 11 \mod 13
\]

Cuối cùng, ta tính \( A \):

\[
A = \frac{3^{2022} - 3}{2} \equiv \frac{11}{2} \mod 13
\]

Để tính \( \frac{11}{2} \mod 13 \), trước tiên cần tìm nghịch đảo của 2 modulo 13. Sử dụng phương pháp tìm nghịch đảo, ta có:

\[
2x \equiv 1 \mod 13
\]

Thử các giá trị, ta thấy \( x = 7 \) là nghịch đảo của 2 \( \mod 13 \):

\[
2 \cdot 7 = 14 \equiv 1 \mod 13
\]

Do đó,

\[
\frac{11}{2} \equiv 11 \cdot 7 \mod 13
\]
\[
11 \cdot 7 = 77 \equiv 12 \mod 13
\]

Kết luận, số dư khi chia tổng \( A \) cho 13 là:

\[
\boxed{12}
\]