Để giải bài toán này, ta cần tính giá trị \( A \) trước.

Biểu thức \( A \) được cho là:

\[
A = 2^2 + 2^4 + 2^6 + \ldots + 2^{200}
\]

Đây là một chuỗi số học với:

- Giới hạn đầu: \( 2^2 \)
- Giới hạn cuối: \( 2^{200} \)
- Bước nhảy: \( 2^2 \)

Ta có thể viết lại chuỗi này với biến đổi:

\[
A = 2^2 \left(1 + 2^2 + 2^4 + \ldots + 2^{198}\right)
\]

Phần trong dấu ngoặc là một chuỗi cấp số nhân với số hạng đầu là 1, số hạng cuối là \( 2^{99} \) (tổng cộng có 100 hạng), và công bội là \( 2^2 = 4 \):

\[
1 + 2^2 + 2^4 + \ldots + 2^{198} = \frac{1 (1 - 4^{100})}{1 - 4} = \frac{1 - 4^{100}}{-3}
\]

Do đó:

\[
A = 2^2 \cdot \frac{1 - 4^{100}}{-3} = \frac{2^2 (1 - 4^{100})}{-3} = \frac{4 - 2^{200}}{-3}
\]

Sắp xếp lại, ta có:

\[
A = \frac{2^{200} - 4}{3}
\]

Bây giờ, để so sánh \( 3A \) với \( 2^{202} \):

\[
3A = 3 \cdot \frac{2^{200} - 4}{3} = 2^{200} - 4
\]

Chúng ta cần so sánh \( 2^{200} - 4 \) với \( 2^{202} \):

\[
2^{200} - 4 \quad \text{và} \quad 2^{202} = 4 \cdot 2^{200}
\]

Suy ra:

\[
2^{200} - 4 < 4 \cdot 2^{200} \implies 2^{200} - 4 < 2^{200}
\]

Điều này hiển nhiên đúng khi \( 2^{200} > 4 \).

Vậy ta có:

\[
3A < 2^{202}
\]

Kết luận là \( 3A < 2^{202} \).