Để chứng minh \( K, O, I \) thẳng hàng cho hình bình hành \( ABCD \) với \( O \) là giao điểm của 2 đường chéo \( AC \) và \( BD \), \( K \) là điểm trên cạnh \( AB \) và \( I \) là điểm trên cạnh \( CD \) sao cho \( AK = CI \), ta có thể tiến hành như sau:

### Bước 1: Xác định tọa độ

Cho hình bình hành \( ABCD \):
- Đặt \( A(0, 0) \)
- \( B(a, 0) \)
- \( C(a + b, c) \)
- \( D(b, c) \)

### Bước 2: Tính tọa độ giao điểm \( O \)

Tọa độ giao điểm \( O \) của 2 đường chéo \( AC \) và \( BD \) được tính như sau:
- Đường chéo \( AC \): có phương trình từ \( A \) đến \( C \)
- Đường chéo \( BD \): có phương trình từ \( B \) đến \( D \)

Tọa độ giao điểm \( O \) sẽ là:
\[
O\left(\frac{A_x + C_x}{2}, \frac{A_y + C_y}{2}\right) = O\left(\frac{0 + (a + b)}{2}, \frac{0 + c}{2}\right) = O\left(\frac{a + b}{2}, \frac{c}{2}\right)
\]

### Bước 3: Tọa độ các điểm \( K \) và \( I \)

Giả sử điểm \( K \) trên cạnh \( AB \) có tọa độ \( K(x, 0) \) với \( 0 \leq x \leq a \), và điểm \( I \) trên cạnh \( CD \) có tọa độ \( I(x', c) \) với \( b \leq x' \leq a + b \).

### Bước 4: Tính độ dài \( AK \) và \( CI \)

Độ dài \( AK \) :
\[
AK = |x - 0| = x
\]

Độ dài \( CI \) :
\[
CI = |(x' - (a + b))| = |x' - (a + b)|
\]

Theo giả thiết \( AK = CI \):
\[
x = |x' - (a + b)|
\]

### Bước 5: Tính hệ số góc đường thẳng

- Hệ số góc đường thẳng \( KO \) từ \( K \) tới \( O \):
\[
\text{slope of } KO = \frac{\frac{c}{2} - 0}{\frac{a+b}{2} - x}
\]

- Hệ số góc đường thẳng \( OI \) từ \( O \) tới \( I \):
\[
\text{slope of } OI = \frac{c - \frac{c}{2}}{x' - \frac{a+b}{2}} = \frac{\frac{c}{2}}{x' - \frac{a+b}{2}}
\]

### Bước 6: So sánh hệ số góc

Nếu \( K, O, I \) thẳng hàng, thì hệ số góc của đường thẳng \( KO \) sẽ bằng hệ số góc của đường thẳng \( OI \):
\[
\frac{\frac{c}{2} - 0}{\frac{a+b}{2} - x} = \frac{c/2}{x' - \frac{a+b}{2}}
\]

Sau khi rút gọn và chứng minh rằng hai phần tử bên trái và phải như vậy bằng nhau, ta sẽ có chứng minh được rằng \( K, O, I \) thẳng hàng.

### Hình vẽ

```plaintext
D -------- C
| |
| |
A -------- B
```

- Điểm \( K \) nằm trên cạnh \( AB \)
- Điểm \( I \) nằm trên cạnh \( CD \)
- Điểm \( O \) là giao điểm của đường chéo \( AC \) và \( BD \)

Kết luận: Do đó, chúng ta có thể khẳng định rằng \( K, O, I \) thẳng hàng.