Để chứng minh bài toán này, ta tiến hành từng bước như sau:

### a. Chứng minh \( NM = NF \)

Trong hình thang cân \( MNEF \), ta có \( MN \parallel EF \) và \( MN = EF \). Vì hình thang là cân, nên hai cạnh bên (MN và EF) sẽ bằng nhau. Do đó, ta có:

1. \( MN = EF \)
2. Tại điểm \( N \) và \( E \), có hai đoạn thẳng \( ME \) và \( NF \) vuông góc với đường thẳng \( MN \).
3. Do \( MN \parallel EF \), theo định lý hệ số góc, ta có hai tam giác \( MNE \) và \( NFE \) tương ứng là đồng dạng.
4. Vậy \( NM = NF \).

### b. Chứng minh \( HP \) là tia phân giác của \( MHF \)

1. Gọi \( H \) là giao điểm của \( ME \) và \( NF \).
2. Vẽ đường thẳng song song với \( MN \) cắt \( MF \) và \( NE \) tại \( P \) và \( Q \), ta có \( HP \parallel MN \).
3. Theo định nghĩa tia phân giác và tính chất các đường thẳng song song, ta có:

- \( \angle MHF = \angle MHP + \angle PHF \)
- \( \angle NHE = \angle NHQ + \angle QHF \)

4. Do \( HP \parallel MN \), nên \( \angle MHP = \angle HNF \) và \( \angle PHF = \angle QHF \).

5. Từ đó, ta kết luận rằng \( HP \) chia góc \( MHF \) thành hai góc bằng nhau, tức là \( HP \) là tia phân giác của góc \( MHF \).

### c. Kết luận

Ta đã chứng minh được rằng \( NM = NF \) và \( HP \) là tia phân giác của góc \( MHF \). Do đó, kết quả bài toán được hoàn thành.