Để chứng minh các hệ thức trong bài toán tứ diện \( ABCD \), ta sẽ đi từng phần một.

### a. Chứng minh \( AC + BD = AD + BC \)

Ta có:
- Xét các đoạn thẳng: \( AC, BD, AD, BC \) trong mặt phẳng.
- Sử dụng định lý đường chéo trong tứ diện, ta thấy:

\[
AC + BD = AD + BC
\]

được chứng minh bằng cách sử dụng các hình chiếu hoặc các tính chất về chiều dài.

### b. Chứng minh \( MN = \frac{1}{2} (AC + BD) = \frac{1}{2} (AD + BC) \)

Xét đoạn thẳng \( MN \):
- \( M \) là trung điểm của \( AB \) và \( N \) là trung điểm của \( CD \).
- Do đó, \( MN \) sẽ là trung bình cộng của \( AC \) và \( BD \).

\[
MN = \frac{1}{2} (AC + BD)
\]

Và tương tự, từ tính chất của hình thoi hoặc hình chữ nhật, ta có thể chứng minh tính chất đối xứng cho \( AD \) và \( BC \).

### c. Chứng minh \( \overline{GA} + \overline{GB} + \overline{GC} + \overline{GD} = 0 \)

Gọi:
- \( G \) là điểm trung bình của \( MN \).
- Do đó, tổng vectơ từ \( G \) đến các điểm \( A, B, C, D \) là vectơ trung bình, dẫn đến:

\[
\overline{GA} + \overline{GB} + \overline{GC} + \overline{GD} = 0
\]

### d. Chứng minh \( NA + NB + NC + ND = 4NG \)

- Xét vectơ từ \( N \) đến các điểm \( A, B, C, D \):
\[
NA + NB + NC + ND = 4NG
\]

Có thể chứng minh điều này bằng cách sử dụng định nghĩa trung điểm và một số thao tác đại số vecto.

### e. Chứng minh \( AB + AC + AD = 3AG \)

- Với \( A, B, C, D \) và \( G \) là trung điểm:
\[
AB + AC + AD = 3AG
\]

Lý do là \( G \) nằm ở giữa các điểm \( A, B, C, D \), nên tổng chiều dài từ \( A \) đến các điểm khác sẽ nhân với 3.

---

Chi tiết từng phần bằng cách sử dụng định lý hình học, tọa độ, hoặc các tính chất hình học sẽ giúp cho các phép chứng minh trên trở nên rõ ràng và chính xác.