a) Để biểu diễn AH theo AB và tỉ số lượng giác của góc B trong tam giác ABC nhọn, ta sử dụng công thức tính độ dài của đường cao.

Gọi H là chân đường cao từ A xuống cạnh BC. Độ dài AH được tính bằng công thức:

\[ AH = AB \cdot \sin B \]

Bởi vì trong tam giác AHB, góc AHB là góc vuông và theo định nghĩa sin của một góc, ta có:

\[
\sin B = \frac{AH}{AB} \implies AH = AB \cdot \sin B
\]

Vậy biểu thức AH theo AB và tỉ số lượng giác của góc B là:

\[
AH = AB \cdot \sin B
\]

b) Để chứng minh rằng \( AB \sin B = AC \sin C \), ta sẽ sử dụng định lý sin trong tam giác.

Theo định lý sin, trong tam giác AHB, ta có:

\[
\frac{AH}{\sin C} = \frac{AB}{\sin B}
\]

Hay từ đây, ta có thể viết lại thành:

\[
AH \cdot \sin B = AB \cdot \sin C
\]

Và từ phần (a) đã tính được:

\[
AH = AB \cdot \sin B
\]

Từ hai phương trình trên, ta có thể thay \( AH \) vào phương trình 1:

\[
(AB \sin B) \cdot \sin C = AB \cdot \sin B
\]

Chia cả hai vế cho \( \sin B \):

\[
AB = AC \cdot \frac{\sin C}{\sin B}
\]

Vậy ta có:

\[
AB \cdot \sin B = AC \cdot \sin C
\]

Và đây chính là điều cần chứng minh.