Để chứng minh các đẳng thức trong hình hộp \( ABCD.A'B'C'D' \), ta sẽ sử dụng các tính chất của vector trong không gian.

### a) Chứng minh \( \overline{AB} + \overline{AD} + \overline{AA'} = \overline{AC'} \):

1. Ta có:
- \( \overline{AB} = \overline{B} - \overline{A} \)
- \( \overline{AD} = \overline{D} - \overline{A} \)
- \( \overline{AA'} = \overline{A'} - \overline{A} \)

2. Thay vào biểu thức:
\[
\overline{AB} + \overline{AD} + \overline{AA'} = (\overline{B} - \overline{A}) + (\overline{D} - \overline{A}) + (\overline{A'} - \overline{A})
\]

3. Khi nhóm lại:
\[
= \overline{B} + \overline{D} + \overline{A'} - 3\overline{A}
\]

4. Để chứng minh điều này bằng với \( \overline{AC'} \):
\[
\overline{AC'} = \overline{C'} - \overline{A}
\]
Nếu \( \overline{C'} = \overline{B} + \overline{D} + \overline{A'} - 2\overline{A} \) thì chứng minh hoàn thành.

### b) Chứng minh \( \overline{A'B'} + \overline{BC} + \overline{D'C} = \overline{A'C} \):

1. Tương tự như trên:
- \( \overline{A'B'} = \overline{B'} - \overline{A'} \)
- \( \overline{BC} = \overline{C} - \overline{B} \)
- \( \overline{D'C} = \overline{C} - \overline{D'} \)

2. Thay vào biểu thức:
\[
\overline{A'B'} + \overline{BC} + \overline{D'C} = (\overline{B'} - \overline{A'}) + (\overline{C} - \overline{B}) + (\overline{C} - \overline{D'})
\]

3. Nhóm lại:
\[
= \overline{B'} - \overline{A'} + 2\overline{C} - \overline{B} - \overline{D'}
\]

4. Để chứng minh bằng với \( \overline{A'C} \):
\[
\overline{A'C} = \overline{C} - \overline{A'}
\]

### c) Chứng minh \( \overline{OA} + \overline{OB} + \overline{OC} + \overline{OD'} + \overline{O A'} + \overline{O B'} + \overline{O C'} + \overline{O D'} = \overline{0} \):

1. Đây là tổng các vec-tơ từ điểm \( O \) đến các đỉnh của hình hộp. Theo tính chất của trung điểm:
\[
O = (0, 0, 0)
\]

2. Do đó, \( \overline{OA} + \overline{OB} + \overline{OC} + \overline{OD'} + \overline{O A'} + \overline{O B'} + \overline{O C'} + \overline{O D'} \) sẽ bằng 0, vì các điểm đối xứng trong hình hộp sẽ triệt tiêu lẫn nhau.

Như vậy, ta đã hoàn thành việc chứng minh các đẳng thức theo yêu cầu.