Tìm các số \( x \geq 0, y \geq 0, z \geq 0 \) thỏa mãn hệ phương trình

Để giải hệ phương trình

\[
\begin{cases}
2(x+y) = z^2 \\
2(y+z) = x^2 \\
2(z+x) = y^2
\end{cases}
\]

với điều kiện \(x \geq 0\), \(y \geq 0\), \(z \geq 0\), ta sẽ thử tìm các giá trị của \(x\), \(y\) và \(z\).

### Bước 1: Biến đổi các phương trình

Từ phương trình đầu tiên, ta có:

\[
z^2 = 2(x+y) \quad \Rightarrow \quad z = \sqrt{2(x+y)}
\]

Từ phương trình thứ hai:

\[
x^2 = 2(y+z) \quad \Rightarrow \quad y+z = \frac{x^2}{2} \quad \Rightarrow \quad z = \frac{x^2}{2} - y
\]

Từ phương trình thứ ba:

\[
y^2 = 2(z+x) \quad \Rightarrow \quad z+x = \frac{y^2}{2} \quad \Rightarrow \quad z = \frac{y^2}{2} - x
\]

### Bước 2: Thay thế giá trị của \(z\)

Thay giá trị của \(z\) từ phương trình đầu vào hai phương trình còn lại để tìm ra mối quan hệ giữa \(x\) và \(y\):

1. Từ \(z = \sqrt{2(x+y)}\):

\[
\sqrt{2(x+y)} = \frac{x^2}{2} - y
\]

2. Từ \(z = \frac{y^2}{2} - x\):

\[
\sqrt{2(x+y)} = \frac{y^2}{2} - x
\]

### Bước 3: Giải các phương trình

Giả sử \(x = y = z\):

Gọi \(x = k\), ta thay vào phương trình ta có:

\[
2(k+k) = k^2 \quad \Rightarrow \quad 4k = k^2 \quad \Rightarrow \quad k^2 - 4k = 0 \quad \Rightarrow \quad k(k - 4) = 0
\]

Từ đó, ta có \(k = 0\) hoặc \(k = 4\).

Vậy có hai trường hợp sau:

1. \(x = 0\), \(y = 0\), \(z = 0\)
2. \(x = 4\), \(y = 4\), \(z = 4\)

### Kết luận

Các số \((x, y, z)\) thỏa mãn hệ phương trình là:

\[
(0, 0, 0) \quad \text{và} \quad (4, 4, 4)
\]