Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'

Để giải bài toán liên quan đến hình hộp ABCD.A'B'C'D', ta lần lượt thực hiện các phần yêu cầu.

### Phần a:
**Chứng minh rằng có một điểm O sao cho:**
\[
\overline{OA} + \overline{OB} + \overline{OC} + \overline{OD} + \overline{OA'} + \overline{OB'} + \overline{OC'} + \overline{OD'} = \overline{0}
\]

Để chứng minh điều này, ta có thể xét các vector vị trí của các điểm:

1. Gọi \(O(a, b, c)\), \(A(0, 0, 0)\), \(B(a, 0, 0)\), \(C(a, b, 0)\), \(D(0, b, 0)\), \(A'(0, 0, c)\), \(B'(a, 0, c)\), \(C'(a, b, c)\), \(D'(0, b, c)\).
2. Tính các vector: \(\overline{OA}\), \(\overline{OB}\), \(\overline{OC}\), \(\overline{OD}\), \(\overline{OA'}\), \(\overline{OB'}\), \(\overline{OC'}\), và \(\overline{OD'}\).

Các vector này sẽ có tổng bằng 0 nếu điểm O là trọng tâm của hình hộp. Trọng tâm \(G\) sẽ có tọa độ:
\[
G\left(\frac{a}{2}, \frac{b}{2}, \frac{c}{2}\right)
\]
Từ đây, suy ra rằng \(O\) với tọa độ như vậy sẽ thỏa mãn yêu cầu trên.

### Phần b:
**Chứng minh rằng với mọi điểm M trong không gian ta đều có**
\[
\overline{MO} = \frac{1}{8}\left(\overline{MA} + \overline{MB} + \overline{MC} + \overline{MD} + \overline{MA'} + \overline{MB'} + \overline{MC'} + \overline{MD'}\right)
\]

Để chứng minh điều này, ta cần dùng tính chất của trọng tâm. Nếu O là trọng tâm thì:
- \(\overline{MA}\), \(\overline{MB}\), \(\overline{MC}\), \(\overline{MD}\), \(\overline{MA'}\), \(\overline{MB'}\), \(\overline{MC'}\), và \(\overline{MD'}\) đều là vector chỉ vị trí mà các điểm đến điểm O.

Mỗi đoạn thẳng từ \(M\) tới \(O\) sẽ là \(\overline{MO}\) và có thể tính bằng trung bình của các vector từ \(M\) tới các đỉnh của hình hộp. Chứng minh sẽ được thực hiện thông qua hình chiếu, tổng quát bằng cách sử dụng công thức khoảng cách trong không gian ba chiều. Tổng của các vector này chia cho số lượng đỉnh là 8.

**Kết luận:** Điểm \(O\) chính là trọng tâm, là điểm duy nhất thoả mãn và kết quả đã được chứng minh.