Để chứng minh các kết luận trong đề bài, ta sẽ sử dụng một số kiến thức về hình học và tính chất của tam giác đều và hình bình hành.

**a)** Chứng minh rằng góc \(BDC = góc BEA\) và tam giác \(BDC = tam giác BEA\).

1. **Xét tứ giác AEDF**: Vì AEDF là hình bình hành nên ta có:
- \(AE \parallel DF\)
- \(AD \parallel EF\)

2. **Xét các tam giác đều**:
- Tam giác \(BDE\) là tam giác đều, nên \(BD = DE\) và góc \(BDE = 60^\circ\).
- Tam giác \(CDF\) cũng là tam giác đều, nghĩa là \(CD = DF\) và góc \(CDF = 60^\circ\).

3. **Góc BDC**:
- Xét góc \(BDC\): theo tính chất của hình bình hành, góc \(AED\) bằng góc \(DFE\) (góc đối) và bằng 60° (do \(DFE\) là góc của tam giác đều).
- Do đó, \(BDC = BDE + AED = 60° + 60° = 120°\).

4. **Đối chiếu góc BEA**:
- Góc \(BEA\) cũng bằng 120° vì:
- \(BE\) song song với \(DF\) và \(AD \parallel EF\), nên góc BEA bằng góc đối của tổng hợp các góc trong hình bình hành.

5. **Tam giác BDC và tam giác BEA**:
- Mặt khác, \(BD = AE\) (cạnh đối của hình bình hành) và \(DC = BE\) (tính chất tại điểm D - E và F nằm cùng phía).
- Do đó, tam giác \(BDC\) có các cạnh tương ứng với tam giác \(BEA\): \(BD = AE\), \(DC = BE\).
- Vì cả hai tam giác đều có cùng một góc tại \(D\) và góc \(BDC = góc BEA\), nên ta kết luận \(Tam giác BDC \cong tam giác BEA\).

**b)** Chứng minh rằng tam giác \(ABC\) đều.

1. **Góc trong tam giác đều**: Chúng ta đã chứng minh rằng góc \(BDC = góc BEA = 120^\circ\).
2. **Dùng tam giác**: Xét t triangles BDC và BEA:
- Chúng ta có:
- \(BD = DE = EF = CD\) (tính chất của tam giác đều),
- Và đã chứng minh \(BDC \cong BEA\).

3. **Góc tại A**:
- Suy ra góc \(ABE = 60^\circ\).
- Do đó \(A + B + C = 180^\circ\) trong tam giác, ta có \(A = B = C = 60^\circ\).

4. **Kết luận**: Tam giác \(ABC\) là tam giác đều (vì có các góc bằng nhau và bằng 60°).

Vậy đã chứng minh xong các yêu cầu trong đề bài.