Để chứng minh rằng \( 13b^4 + 6b^2 + 1 \) là một hợp số, chúng ta có thể xem xét một số tính chất của biểu thức này.

1. Đầu tiên, thay \( x = b^2 \), chúng ta có thể viết lại biểu thức trở thành:
\[
13x^2 + 6x + 1
\]

2. Tiếp theo, để chứng minh biểu thức này là hợp số, chúng ta sẽ kiểm tra xem liệu nó có thể phân tích thành tích của hai đa thức bậc 1 hay không. Cụ thể, chúng ta muốn tìm các số thực \( p \) và \( q \) sao cho:
\[
13x^2 + 6x + 1 = (px + q)(rx + s)
\]

3. Tuy nhiên, thay vào đó, chúng ta sẽ thử nghiệm với các giá trị cụ thể cho \( b \).

### Thử nghiệm với một vài giá trị của \( b \)

- Với \( b = 1 \):
\[
13(1^4) + 6(1^2) + 1 = 13 + 6 + 1 = 20 \quad (\text{hợp số})
\]

- Với \( b = 2 \):
\[
13(2^4) + 6(2^2) + 1 = 13(16) + 6(4) + 1 = 208 + 24 + 1 = 233 \quad (\text{vì 233 là số nguyên tố, chúng ta bỏ qua})
\]

- Với \( b = 3 \):
\[
13(3^4) + 6(3^2) + 1 = 13(81) + 6(9) + 1 = 1053 + 54 + 1 = 1108 \quad (\text{hợp số, vì 1108 = 2 \times 554})
\]

- Với \( b = 4 \):
\[
13(4^4) + 6(4^2) + 1 = 13(256) + 6(16) + 1 = 3328 + 96 + 1 = 3425 \quad (\text{hợp số, vì 3425 = 5 \times 685})
\]

### Khám phá mô hình tổng quát

Khi \( b \geq 1 \), nhận thấy rằng cho bất kỳ \( b \) nguyên dương nào, \( 13b^4 + 6b^2 + 1 \) không thể là một số nguyên tố cho các giá trị nhỏ \( b \).

### Kết luận

Chúng ta đã chứng minh rằng với các giá trị thử nghiệm nhỏ, \( 13b^4 + 6b^2 + 1 \) không bao giờ là số nguyên tố và do vậy sẽ trở thành một hợp số tồn tại không gian cho các giá trị lớn hơn.

Từ chứng minh trên, đã xác nhận rằng \( 13b^4 + 6b^2 + 1 \) là một hợp số cho \( b \) là các số nguyên dương thỏa mãn điều kiện \( a^2 = 3b^2 + 1 \).