Để chứng minh đẳng thức

\[
\frac{a^3 + b^3 + c^3}{b^3 + c^3 + d^3} = \frac{a}{d},
\]

theo điều kiện cho trước \( b^2 = ac \) và \( c^2 = bd \), ta có thể làm như sau:

1. **Thay thế các biểu thức:** Theo điều kiện, ta có thể phát triển các biểu thức.

2. **Sử dụng công thức:** Ta cần sử dụng những công thức liên quan đến tổng khối lập phương. Cụ thể:

\[
a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - ac - bc).
\]

Tương tự, ta có cho \( b^3 + c^3 + d^3 \).

3. **Tính toán:** Thay thế biểu thức tương ứng với \( b^2 = ac \) và \( c^2 = bd \) để thể hiện mối liên hệ giữa các biến.

4. **Chia hai vế:** Sau khi sắp xếp và thay thế, ta nên xét tỉ số giữa hai vế của đẳng thức và cố gắng đơn giản hóa nó.

Trong quá trình làm, nếu có phát sinh hệ số hay thêm điều kiện từ các đẳng thức đã cho, hãy đảm bảo rằng các phép biến đổi được thực hiện chính xác, tránh dẫn đến lỗi.

5. **Kết luận:** Cuối cùng, chứng minh rằng cả hai phía của đẳng thức đều bằng nhau.

Có thể cần làm vài bước tính toán chi tiết và sử dụng các tính chất số học để đưa ra kết quả cuối cùng. Hãy đảm bảo kiểm tra lại từng bước để xác nhận rằng mỗi phép biến đổi là chính xác!