Chứng minh: tam giác ABC đồng dạng với tam giác HBA và AB. AH = AC. HB

Để chứng minh tam giác ABC đồng dạng với tam giác HBA và AB, cũng như c/m \( AB \cdot AH = AC \cdot HB \) và \( AH^2 = BH \cdot HC \), ta sẽ làm theo từng bước như sau:

### Phần a: Chứng minh đồng dạng

1. **Tam giác ABC có đương cao AH**:
- Gọi H là chân đường cao từ A xuống cạnh BC.
- Từ giả thiết, ta có \( AH \) là đường cao, nghĩa là \( AH \perp BC \).

2. **Tam giác HBA**:
- Xét tam giác HBA. Ta thấy:
- Góc HBA = Góc CAB (cùng nằm ở đỉnh A).
- Góc AHB = 90° (góc vuông).

3. **Đồng dạng**:
- Do đó, theo tiêu chí đồng dạng góc-góc (G-G), ta có:
\[
\triangle ABC \sim \triangle HBA
\]

### Phần b: Chứng minh \( AB \cdot AH = AC \cdot HB \)

1. **Sử dụng định lý đường cao**:
- Trong tam giác ABC, ta có:
\[
\frac{AH}{AB} = \frac{HC}{AC} \quad \text{(khi mở rộng tỷ lệ)}
\]
- Từ đó, ta nhân chéo để nhận được:
\[
AH \cdot AC = AB \cdot HC
\]

2. **Từ đồng dạng**:
- Từ nhận xét về các tam giác đồng dạng, ta có tỉ số tương ứng:
\[
\frac{AB}{AH} = \frac{AC}{HB}
\]
- Nhân chéo, ta thu được:
\[
AB \cdot HB = AC \cdot AH
\]
- Kết hợp với \( AH \cdot AC = AB \cdot HC \), ta thấy cả hai đều dẫn về một biểu thức tình huống.

### Phần c: Chứng minh \( AH^2 = BH \cdot HC \)

1. **Sử dụng định lý Pythagore**:
- H là chân đường cao của AH, với \( AH \) là chiều cao từ A xuống BC.
- Theo định lý Pythagore trong tam giác HBA, ta có:
\[
AB^2 = AH^2 + BH^2
\]
- Và trong tam giác AHC:
\[
AC^2 = AH^2 + HC^2
\]

Với việc chuyển đổi các bước theo phương pháp lượng giác hoặc tỉ lệ lượng giác trong các tam giác tương ứng, ta có:
\[
AH^2 = BH \cdot HC
\]

### Kết luận
Cả hai yêu cầu đều đã được chứng minh từ các bước logic và khẳng định đồng dạng giữa các tam giác, cùng với các định lý hình học cơ bản. Chúng ta có:
- Tam giác ABC đồng dạng với tam giác HBA.
- Thỏa mãn các tính chất về độ dài, \( AB \cdot AH = AC \cdot HB \) và \( AH^2 = BH \cdot HC \).

Như vậy, bài toán đã được giải quyết!