Để giải hệ phương trình đã cho, chúng ta sẽ giải lần lượt từng hệ.

### 1. Hệ phương trình 4:
\[
\begin{cases}
\frac{1}{x-3} + \frac{4}{y+1} = 5 \\
\frac{3}{x-3} + \frac{4}{y+1} = -1
\end{cases}
\]

Gọi \( u = \frac{1}{x-3} \) và \( v = \frac{1}{y+1} \), ta có hệ phương trình như sau:
\[
\begin{cases}
u + 4v = 5 \\
3u + 4v = -1
\end{cases}
\]

Trừ phương trình đầu tiên từ phương trình thứ hai:
\[
(3u + 4v) - (u + 4v) = -1 - 5 \Rightarrow 2u = -6 \Rightarrow u = -3
\]

Thay \( u \) vào phương trình đầu tiên:
\[
-3 + 4v = 5 \Rightarrow 4v = 8 \Rightarrow v = 2
\]

Quay lại với \( x \) và \( y \):
\[
\frac{1}{x-3} = -3 \Rightarrow x - 3 = -\frac{1}{3} \Rightarrow x = \frac{8}{3}
\]
\[
\frac{1}{y+1} = 2 \Rightarrow y + 1 = \frac{1}{2} \Rightarrow y = -\frac{1}{2}
\]

### kết quả hệ 4:
\[
(x, y) = \left(\frac{8}{3}, -\frac{1}{2}\right)
\]

---

### 2. Hệ phương trình 5:
\[
\begin{cases}
\frac{2}{x-2} + \frac{1}{y+1} = 3 \\
\frac{3}{x-2} + \frac{2}{y+1} = 8
\end{cases}
\]

Gọi \( u = \frac{1}{x-2} \) và \( v = \frac{1}{y+1} \):
\[
\begin{cases}
2u + v = 3 \\
3u + 2v = 8
\end{cases}
\]

Giải hệ:
Từ phương trình đầu tiên, ta có \( v = 3 - 2u \). Thay vào phương trình thứ hai:
\[
3u + 2(3 - 2u) = 8 \Rightarrow 3u + 6 - 4u = 8 \Rightarrow -u = 2 \Rightarrow u = -2
\]

Thay \( u \) vào để tìm \( v \):
\[
v = 3 - 2(-2) = 3 + 4 = 7
\]

Quay lại để tìm \( x \) và \( y \):
\[
\frac{1}{x-2} = -2 \Rightarrow x - 2 = -\frac{1}{2} \Rightarrow x = \frac{3}{2}
\]
\[
\frac{1}{y+1} = 7 \Rightarrow y + 1 = \frac{1}{7} \Rightarrow y = -\frac{6}{7}
\]

### kết quả hệ 5:
\[
(x, y) = \left(\frac{3}{2}, -\frac{6}{7}\right)
\]

---

### 3. Hệ phương trình 6:
\[
\begin{cases}
\frac{1}{x+1} + \frac{1}{y-2} = 8 \\
\frac{2}{x+1} + \frac{3}{y-2} = 1
\end{cases}
\]

Gọi \( u = \frac{1}{x+1} \) và \( v = \frac{1}{y-2} \):
\[
\begin{cases}
u + v = 8 \\
2u + 3v = 1
\end{cases}
\]

Giải hệ:
Từ phương trình đầu tiên, có \( v = 8 - u \). Thay vào phương trình thứ hai:
\[
2u + 3(8 - u) = 1 \Rightarrow 2u + 24 - 3u = 1 \Rightarrow -u + 24 = 1 \Rightarrow -u = -23 \Rightarrow u = 23
\]

Thay \( u \) vào để tìm \( v \):
\[
v = 8 - 23 = -15
\]

Quay lại để tìm \( x \) và \( y \):
\[
\frac{1}{x+1} = 23 \Rightarrow x + 1 = \frac{1}{23} \Rightarrow x = \frac{1}{23} - 1 = -\frac{22}{23}
\]
\[
\frac{1}{y-2} = -15 \Rightarrow y - 2 = -\frac{1}{15} \Rightarrow y = 2 - \frac{1}{15} = \frac{29}{15}
\]

### kết quả hệ 6:
\[
(x, y) = \left(-\frac{22}{23}, \frac{29}{15}\right)
\]

---

### Tóm tắt kết quả:
1. Hệ 4: \((\frac{8}{3}, -\frac{1}{2})\)
2. Hệ 5: \((\frac{3}{2}, -\frac{6}{7})\)
3. Hệ 6: \((- \frac{22}{23}, \frac{29}{15})\)