Để chứng minh các phát biểu trên, ta sẽ sử dụng một số kiến thức hình học cơ bản và tính chất của hình bình hành.
### a) Chứng minh rằng
DE=BF và
DE∥BF:
1. **Chứng minh
DE∥BF**:
- Trong hình bình hành ABCD, ta có tính chất rằng các cạnh đối song song. Do đó,
AB∥CD.
- E và F lần lượt là trung điểm của
AB và
CD, theo định nghĩa, nên
AE=EB và
CF=FD.
- Ta biết rằng đường thẳng nối hai trung điểm của hai đoạn thẳng song song sẽ song song với các đoạn thẳng đó. Do đó,
DE∥AB và
BF∥CD, từ đó suy ra
DE∥BF.
2. **Chứng minh
DE=BF**:
- Vì
E và
F lần lượt là trung điểm của
AB và
CD, nên:
DE=12ABvàBF=12CD
- Vì
AB=CD trong hình bình hành, nên:
DE=12AB=12CD=BF
Từ đó, ta có
DE=BF và
DE∥BF.
### b) Chứng minh
AM=MN=NC:
1. **Xét tam giác
ACD**:
- Gọi
G là giao điểm của sản phẩm của các đường thẳng
DE và
BF. Ta cần chứng minh rằng
M và
N chia đoạn thẳng
AC thành 3 đoạn bằng nhau.
2. **Sử dụng trọng tâm**:
- Ta có hai đoạn thẳng
DE và
BF song song và bằng nhau. Khi đó,
AM và
CN là hai đoạn nối từ các đỉnh
A và
C với trọng tâm của hình bình hành. Chúng sẽ cắt nhau tại
M và
N, chia đoạn thẳng
AC thành ba phần bằng nhau.
- Khi ta dùng tính chất của hình bình hành và các đoạn thẳng
AM,MN,NC, do đó, ta có:
AM=MN=NC
Kết luận, với mọi kết nối và tính chất đã nêu, ta đã chứng minh hai phần của bài toán:
-
DE=BF và
DE∥BF.
-
AM=MN=NC.