Để chứng minh các phát biểu trên, ta sẽ sử dụng một số kiến thức hình học cơ bản và tính chất của hình bình hành.

### a) Chứng minh rằng \( DE = BF \) và \( DE \parallel BF \):

1. **Chứng minh \( DE \parallel BF \)**:
- Trong hình bình hành ABCD, ta có tính chất rằng các cạnh đối song song. Do đó, \( AB \parallel CD \).
- E và F lần lượt là trung điểm của \( AB \) và \( CD \), theo định nghĩa, nên \( AE = EB \) và \( CF = FD \).
- Ta biết rằng đường thẳng nối hai trung điểm của hai đoạn thẳng song song sẽ song song với các đoạn thẳng đó. Do đó, \( DE \parallel AB \) và \( BF \parallel CD \), từ đó suy ra \( DE \parallel BF \).

2. **Chứng minh \( DE = BF \)**:
- Vì \( E \) và \( F \) lần lượt là trung điểm của \( AB \) và \( CD \), nên:
\[
DE = \frac{1}{2} AB \quad \text{và} \quad BF = \frac{1}{2} CD
\]
- Vì \( AB = CD \) trong hình bình hành, nên:
\[
DE = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} CD = BF
\]

Từ đó, ta có \( DE = BF \) và \( DE \parallel BF \).

### b) Chứng minh \( AM = MN = NC \):

1. **Xét tam giác \( ACD \)**:
- Gọi \( G \) là giao điểm của sản phẩm của các đường thẳng \( DE \) và \( BF \). Ta cần chứng minh rằng \( M \) và \( N \) chia đoạn thẳng \( AC \) thành 3 đoạn bằng nhau.

2. **Sử dụng trọng tâm**:
- Ta có hai đoạn thẳng \( DE \) và \( BF \) song song và bằng nhau. Khi đó, \( AM \) và \( CN \) là hai đoạn nối từ các đỉnh \( A \) và \( C \) với trọng tâm của hình bình hành. Chúng sẽ cắt nhau tại \( M \) và \( N \), chia đoạn thẳng \( AC \) thành ba phần bằng nhau.
- Khi ta dùng tính chất của hình bình hành và các đoạn thẳng \( AM, MN, NC \), do đó, ta có:
\[
AM = MN = NC
\]

Kết luận, với mọi kết nối và tính chất đã nêu, ta đã chứng minh hai phần của bài toán:

- \( DE = BF \) và \( DE \parallel BF \).
- \( AM = MN = NC \).