Để giải bài toán, ta đặt số học sinh của trường A là \( x \) và số học sinh của trường B là \( y \). Ta có các thông tin như sau:

1. Tổng số học sinh dự thi: \( x + y = 350 \)
2. Tổng số học sinh trúng tuyển: \( a + b = 338 \)
- Trong đó \( a \) là số học sinh trúng tuyển của trường A và \( b \) là số học sinh trúng tuyển của trường B.
3. Tỉ lệ trúng tuyển của trường A là 97%, tức là:
\[
a = 0.97x
\]
4. Tỉ lệ trúng tuyển của trường B là 96%, tức là:
\[
b = 0.96y
\]

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình sau:

\[
\begin{align*}
x + y &= 350 \quad (1) \\
0.97x + 0.96y &= 338 \quad (2)
\end{align*}
\]

Bây giờ ta có thể thay \( y \) từ (1) vào (2):

\[
y = 350 - x
\]

Thay vào phương trình (2):

\[
0.97x + 0.96(350 - x) = 338
\]
\[
0.97x + 336 - 0.96x = 338
\]
\[
0.01x + 336 = 338
\]
\[
0.01x = 2
\]
\[
x = 200
\]

Vậy số học sinh của trường A là 200. Ta đi tính \( y \):

\[
y = 350 - x = 350 - 200 = 150
\]

Bây giờ ta tính số học sinh trúng tuyển của từng trường:

- Học sinh trúng tuyển của trường A:
\[
a = 0.97 \cdot 200 = 194
\]

- Học sinh trúng tuyển của trường B:
\[
b = 0.96 \cdot 150 = 144
\]

Vậy kết quả là:
- Trường A có 194 học sinh trúng tuyển.
- Trường B có 144 học sinh trúng tuyển.