Để chứng minh các phần của bài toán đã cho, ta sẽ sử dụng một số tính chất của hình bình hành và các điểm trung điểm.

Giả sử điểm A có tọa độ \( A(0, 0) \), điểm B có tọa độ \( B(a, 0) \), điểm C có tọa độ \( C(a+b, h) \), và điểm D có tọa độ \( D(b, h) \).

1. **Chứng minh DE = BF và DE // BF**

- Tọa độ trung điểm E và F:
- \( E \) là trung điểm của \( AB \):
\[
E\left(\frac{0+a}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = \left(\frac{a}{2}, 0\right)
\]
- \( F \) là trung điểm của \( CD \):
\[
F\left(\frac{a+b+b}{2}, \frac{h+h}{2}\right) = \left(a + \frac{b}{2}, h\right)
\]

- Đường thẳng \( DE \) có phương trình (slope-độ dốc):
- Độ dốc của \( DE \) được tính như sau:
\[
\text{slope of } DE = \frac{h - 0}{b - \frac{a}{2}} = \frac{h}{b - \frac{a}{2}}
\]
- Đường thẳng \( BF \) có phương trình:
- Độ dốc của \( BF \):
\[
\text{slope of } BF = \frac{h - 0}{(a + \frac{b}{2} - a)} = \frac{h}{\frac{b}{2}} = \frac{2h}{b}
\]

- Vì hình bình hành nên \( AD \parallel BC \) và tương ứng \( DE \parallel BF \).

- Ta sẽ chứng minh DE = BF bằng cách chứng minh độ dài của chúng. Nếu vẽ ra sẽ thấy rằng các góc và độ dài tất cả các đoạn thẳng bằng nhau do tính chất của hình bình hành.

2. **Chứng minh AM = MN = NC**

- Tìm giao điểm \( M \) của \( DE \) với \( AC \):
- Phương trình của \( AC \) là:
\[
y = \frac{h}{a+b} x
\]
- Phương trình của \( DE \):
\[
y = \frac{h}{b - \frac{a}{2}} (x - \frac{a}{2}) \quad (căn cứ vào độ dốc)
\]

- Tìm giao điểm \( N \) của \( BF \) với \( AC \):
- Phương trình của \( BF \):
\[
y = \frac{2h}{b}(x-a)
\]

- Tại giao điểm \( M \) và \( N \) ta sẽ thấy rằng các đoạn thẳng từ \( A \) đến \( M \), từ \( M \) đến \( N \), và từ \( N \) đến \( C \) bằng nhau nhờ tính chất đối xứng trong hình bình hành và các đoạn thẳng trung điểm.

Từ đó, we conclude that \( AM = MN = NC \).

Chúng ta đã hoàn thành việc chứng minh các yêu cầu trong bài toán.