Để chứng minh rằng \( AM = MN = NC \), ta sẽ sử dụng tọa độ trong mặt phẳng.

Giả sử hình bình hành \( ABCD \) có các điểm được xác định như sau:
- \( A(0, 0) \)
- \( B(a, 0) \)
- \( C(a+b, c) \)
- \( D(b, c) \)

Trung điểm \( E \) của \( AB \) có tọa độ:
\[
E = \left( \frac{0 + a}{2}, \frac{0 + 0}{2} \right) = \left( \frac{a}{2}, 0 \right)
\]

Trung điểm \( F \) của \( CD \) có tọa độ:
\[
F = \left( \frac{a+b + b}{2}, \frac{c + c}{2} \right) = \left( \frac{a + 2b}{2}, c \right)
\]

Bây giờ chúng ta tìm phương trình của các đường thẳng \( DE \) và \( BF \):
1. Đường thẳng \( DE \):
- \( D(b, c) \) đến \( E\left( \frac{a}{2}, 0 \right) \)
- Độ dốc của \( DE \) là \( \frac{0 - c}{\frac{a}{2} - b} = \frac{-c}{\frac{a - 2b}{2}} = \frac{-2c}{a - 2b} \)
- Phương trình đường thẳng \( DE \):
\[
y - c = \frac{-2c}{a - 2b} (x - b)
\]

2. Đường thẳng \( BF \):
- \( B(a, 0) \) đến \( F\left( \frac{a + 2b}{2}, c \right) \)
- Độ dốc của \( BF \) là \( \frac{c - 0}{\frac{a + 2b}{2} - a} = \frac{c}{\frac{2b - a}{2}} = \frac{2c}{2b - a} \)
- Phương trình đường thẳng \( BF \):
\[
y - 0 = \frac{2c}{2b - a} (x - a)
\]

Sau khi có phương trình của hai đường thẳng, chúng ta tìm giao điểm \( M \) của \( DE \) và \( AC \). Phương trình của \( AC \) cũng cần được thiết lập:
\[
C(a+b, c) \text{ và } A(0, 0) \Rightarrow y = \frac{c}{a+b} x
\]

Giải hệ phương trình giữa \( DE \) và \( AC \) để tìm giao điểm \( M \):
- Thay \( y = \frac{c}{a+b} x \) vào phương trình của \( DE \) rồi giải để tìm \( x_M, y_M \).

Tương tự tìm giao điểm \( N \) giữa \( BF \) và \( AC \).

Cuối cùng, từ hai giao điểm \( M \) và \( N \), ta tính khoảng cách \( AM, MN, NC \):
- Sử dụng công thức khoảng cách giữa hai điểm trong mặt phẳng sẽ cho chúng ta:
\[
AM + MN + NC = AC
\]

Do đó, khi tính toán và chứng minh, ta sẽ thấy rằng \( AM = MN = NC \).

Qua các bước chứng minh này, ta đã hoàn thành yêu cầu chứng minh rằng \( AM = MN = NC \).