Để giải bài toán này, chúng ta cần thiết lập một số phương trình dựa trên thông tin đã cho.

Gọi số học sinh của trường A là \( x \) và số học sinh của trường B là \( y \).

Theo đề bài, ta có hệ phương trình sau:

1. \( x + y = 350 \) (tổng số học sinh dự thi của hai trường)
2. \( 0.97x + 0.96y = 338 \) (tổng số học sinh trúng tuyển của hai trường)

Bây giờ, ta sẽ giải hệ phương trình này.

Từ phương trình (1), ta có:

\[
y = 350 - x
\]

Thay vào phương trình (2):

\[
0.97x + 0.96(350 - x) = 338
\]

Giải phương trình này:

\[
0.97x + 0.96 \cdot 350 - 0.96x = 338
\]

\[
(0.97 - 0.96)x + 336 = 338
\]

\[
0.01x + 336 = 338
\]

\[
0.01x = 2
\]

\[
x = 200
\]

Vậy, số học sinh của trường A là 200. Bây giờ ta tính số học sinh của trường B:

\[
y = 350 - x = 350 - 200 = 150
\]

Như vậy, số học sinh của trường A trúng tuyển là:

\[
0.97 \cdot 200 = 194
\]

Số học sinh của trường B trúng tuyển là:

\[
0.96 \cdot 150 = 144
\]

**Kết luận:**
- Trường A có 194 học sinh trúng tuyển.
- Trường B có 144 học sinh trúng tuyển.