Để tính giá trị biểu thức \( 2 \frac{6}{7} + \frac{1}{7} \times \frac{2}{7} + \frac{1}{7} \times \frac{5}{7} \), ta thực hiện các bước sau:

1. **Chuyển đổi các số hỗn hợp thành phân số**:
\[
2 \frac{6}{7} = \frac{2 \times 7 + 6}{7} = \frac{14 + 6}{7} = \frac{20}{7}
\]

2. **Tính các phép nhân**:
- \(\frac{1}{7} \times \frac{2}{7} = \frac{2}{49}\)
- \(\frac{1}{7} \times \frac{5}{7} = \frac{5}{49}\)

3. **Tổng hợp kết quả**:
- Biểu thức bây giờ là:
\[
\frac{20}{7} + \frac{2}{49} + \frac{5}{49}
\]

- Kết hợp các phân số này lại:
\[
\frac{20}{7} = \frac{20 \times 7}{49} = \frac{140}{49}
\]
- Do đó biểu thức hoàn chỉnh sẽ là:
\[
\frac{140}{49} + \frac{2}{49} + \frac{5}{49} = \frac{140 + 2 + 5}{49} = \frac{147}{49} = 3
\]

Kết quả cuối cùng của biểu thức là \(3\).