Tìm các khoảng đơn điệu và cực trị của hàm số

Để tìm các khoảng đơn điệu và cực trị của hàm số \(y = x - 3\sqrt[3]{x^2}\), trước tiên chúng ta cần tính đạo hàm của hàm số này.

1. **Tính đạo hàm:**

Đạo hàm của hàm số \(y\) theo biến \(x\) là:

\[
y' = \frac{d}{dx}\left( x - 3\sqrt[3]{x^2} \right)
\]

Ta có thể viết lại \(3\sqrt[3]{x^2}\) dưới dạng lũy thừa:

\[
\sqrt[3]{x^2} = x^{2/3}
\]

Vậy hàm số trở thành:

\[
y = x - 3x^{2/3}
\]

Giờ tính đạo hàm:

\[
y' = 1 - 3 \cdot \frac{2}{3}x^{-1/3} = 1 - 2x^{-1/3} = 1 - \frac{2}{\sqrt[3]{x^2}}
\]

2. **Tìm các điểm cực trị:**

Để tìm các điểm cực trị, chúng ta giải phương trình \(y' = 0\):

\[
1 - \frac{2}{\sqrt[3]{x^2}} = 0
\]

Giải phương trình trên ta được:

\[
\frac{2}{\sqrt[3]{x^2}} = 1 \Rightarrow \sqrt[3]{x^2} = 2 \Rightarrow x^2 = 8 \Rightarrow x = \pm 2\sqrt{2}
\]

3. **Tính bảng xét dấu đạo hàm:**

Chúng ta cần xét dấu của \(y'\) trên các khoảng xác định bởi các điểm \(x = -2\sqrt{2}\), \(x = 0\), và \(x = 2\sqrt{2}\).

- Khi \(x < -2\sqrt{2}\): Ta chọn \(x = -3\), thì:
\[
y' = 1 - \frac{2}{\sqrt[3]{(-3)^2}} = 1 - \frac{2}{\sqrt[3]{9}} > 0 \quad \text{(dương)}
\]

- Khi \(-2\sqrt{2} < x < 0\): Ta chọn \(x = -1\), thì:
\[
y' = 1 - \frac{2}{\sqrt[3]{(-1)^2}} = 1 - 2 < 0 \quad \text{(âm)}
\]

- Khi \(0 < x < 2\sqrt{2}\): Ta chọn \(x = 1\), thì:
\[
y' = 1 - \frac{2}{\sqrt[3]{1^2}} = 1 - 2 < 0 \quad \text{(âm)}
\]

- Khi \(x > 2\sqrt{2}\): Ta chọn \(x = 3\), thì:
\[
y' = 1 - \frac{2}{\sqrt[3]{(3)^2}} = 1 - \frac{2}{\sqrt[3]{9}} > 0 \quad \text{(dương)}
\]

4. **Kết luận về khoảng đơn điệu và cực trị:**

- Hàm \(y\) đồng biến trên khoảng: \((-\infty, -2\sqrt{2})\)
- Hàm \(y\) nghịch biến trên khoảng: \((-2\sqrt{2}, 2\sqrt{2})\)
- Hàm \(y\) đồng biến trên khoảng: \((2\sqrt{2}, +\infty)\)

- Điểm cực trị:
- Cực Đại tại \(x = -2\sqrt{2}\)
- Cực Tiểu tại \(x = 2\sqrt{2}\)

- Giá trị cực đại và cực tiểu:
- \(y(-2\sqrt{2}) = -2\sqrt{2} + 3 \cdot 2 = -2\sqrt{2} + 6\)
- \(y(2\sqrt{2}) = 2\sqrt{2} - 3 \cdot 2 = 2\sqrt{2} - 6\)

Như vậy, ta có kết quả cuối cùng:

- Các khoảng đơn điệu là:
- Tăng trên \((-\infty, -2\sqrt{2})\) và \((2\sqrt{2}, +\infty)\)
- Giảm trên \((-2\sqrt{2}, 2\sqrt{2})\)

- Các cực trị là:
- Cực đại tại \(x = -2\sqrt{2}\)
- Cực tiểu tại \(x = 2\sqrt{2}\)