Để chứng minh rằng \( IJ \parallel CD \) trong tứ diện \( ABCD \), với \( I \) là trọng tâm của tam giác \( ABC \) và \( J \) là trọng tâm của tam giác \( ABD \), ta sẽ sử dụng các tính chất của trọng tâm và vectơ trong không gian.

1. **Định nghĩa trọng tâm**:
Trọng tâm của tam giác là điểm giao nhau của các phân giác. Trọng tâm \( I \) của tam giác \( ABC \) được xác định bằng công thức:
\[
\vec{I} = \frac{\vec{A} + \vec{B} + \vec{C}}{3}
\]
Tương tự, trọng tâm \( J \) của tam giác \( ABD \) được xác định bằng:
\[
\vec{J} = \frac{\vec{A} + \vec{B} + \vec{D}}{3}
\]

2. **Tính toán vectơ \( IJ \)**:
Ta tính vectơ \( \vec{IJ} \):
\[
\vec{IJ} = \vec{J} - \vec{I} = \left( \frac{\vec{A} + \vec{B} + \vec{D}}{3} - \frac{\vec{A} + \vec{B} + \vec{C}}{3} \right)
\]
Khi thực hiện phép trừ, ta có:
\[
\vec{IJ} = \frac{(\vec{A} + \vec{B} + \vec{D}) - (\vec{A} + \vec{B} + \vec{C})}{3} = \frac{\vec{D} - \vec{C}}{3}
\]

3. **Tính toán vectơ \( CD \)**:
Vectơ \( \vec{CD} \) được tính như sau:
\[
\vec{CD} = \vec{D} - \vec{C}
\]

4. **So sánh các vectơ**:
Từ việc tính toán ở trên, ta có:
\[
\vec{IJ} = \frac{1}{3} \vec{CD}
\]

5. **Kết luận**:
Vậy \( IJ \) là một phần của vectơ \( CD \) và có cùng hướng với \( CD \). Do đó, ta có thể kết luận rằng:
\[
IJ \parallel CD
\]

Như vậy, ta đã chứng minh rằng \( IJ \parallel CD \) trong tứ diện \( ABCD \).