Trên Hình 4.47 đường tròn (C) với tâm O là tâm Trái Đất, đi qua S (Syene), A (Alexandria), OS = OA = R (R là bán kính của đường tròn (C)).

Theo giả thiết, cung tròn (nhỏ) SA của (C) dài 800 km.

Gọi H là đỉnh tháp, chân tại A thì A nằm giữa O và H, AH = 25 m. Bóng của tháp là cung tròn AB của (C).

Vì đường thẳng vuông góc mặt đất thì đi qua tâm O nên theo giả thiết, tia sáng mặt trời song song với OS, do đó BH song song với OS, suy ra \(\widehat {AHB} = \widehat {AOS}.\)

Vì AH = 25 m khá bé so với R, Erastosthene coi cung tròn AB của (C) là một đoạn thẳng AB = 3,1 m vuông góc với AH tạo thành tam giác BAH vuông tại A, ta có

\(\tan \widehat {AHB} = \frac = \frac{{3,1}} = 0,124.\)

Suy ra \(\tan \widehat {{\rm{AOS}}} = 0,124\) nên \(\widehat {AOS} \approx 7^\circ .\)

Vì độ dài cung tròn MN tùy ý trên đường tròn tâm O tỉ lệ thuận với số đo góc ở tâm \(\widehat {MON},\) mà độ dài cung AS bằng 800 km ứng với góc ở tâm \(\widehat {AOS} \approx 7^\circ \) nên toàn bộ đường tròn (C) ứng với góc ở tâm 360° có độ dài xấp xỉ bằng

\(\frac{{360^\circ }}{{7^\circ }}.800 \approx 41142\) (km).

Vậy chu vi của Trái Đất xấp xỉ 41142 km.