Để tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức \( A = 9x^2 + 4y^2 - 6x + 20y + 2024 \), ta sẽ hoàn thành bình phương cho các biến \( x \) và \( y \).

**Bước 1: Hoàn thành bình phương cho \( x \)**

Biểu thức theo \( x \):

\[
9x^2 - 6x = 9 \left( x^2 - \frac{2}{3} x \right)
\]

Hoàn thành bình phương:

\[
x^2 - \frac{2}{3} x = \left( x - \frac{1}{3} \right)^2 - \frac{1}{9}
\]

Thay vào biểu thức:

\[
9 \left( \left( x - \frac{1}{3} \right)^2 - \frac{1}{9} \right) = 9 \left( x - \frac{1}{3} \right)^2 - 1
\]

**Bước 2: Hoàn thành bình phương cho \( y \)**

Biểu thức theo \( y \):

\[
4y^2 + 20y = 4 \left( y^2 + 5y \right)
\]

Hoàn thành bình phương:

\[
y^2 + 5y = \left( y + \frac{5}{2} \right)^2 - \frac{25}{4}
\]

Thay vào biểu thức:

\[
4 \left( \left( y + \frac{5}{2} \right)^2 - \frac{25}{4} \right) = 4 \left( y + \frac{5}{2} \right)^2 - 25
\]

**Bước 3: Kết hợp lại**

Bây giờ, ta thay các kết quả đã hoàn thành bình phương vào biểu thức \( A \):

\[
A = 9 \left( x - \frac{1}{3} \right)^2 - 1 + 4 \left( y + \frac{5}{2} \right)^2 - 25 + 2024
\]

Simplify:

\[
A = 9 \left( x - \frac{1}{3} \right)^2 + 4 \left( y + \frac{5}{2} \right)^2 + 1998
\]

**Bước 4: Tìm GTNN**

Biểu thức sẽ đạt giá trị nhỏ nhất khi \( 9 \left( x - \frac{1}{3} \right)^2 = 0 \) và \( 4 \left( y + \frac{5}{2} \right)^2 = 0 \).

Điều này xảy ra tại:

\[
x = \frac{1}{3}, \quad y = -\frac{5}{2}
\]

GTNN của \( A \) là:

\[
A_{\text{min}} = 0 + 0 + 1998 = 1998
\]

Vậy giá trị nhỏ nhất của \( A \) là **1998**.