Chứng minh rằng P(2001) - P(1998) là một hợp số

Để chứng minh rằng \( P(2001) - P(1998) \) là một hợp số, ta có thể sử dụng tính chất của đa thức bậc ba.

Gọi \( P(x) \) là đa thức bậc ba, có dạng:

\[
P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d
\]

Với \( P(1999) = 2000 \) và \( P(2000) = 2001 \), ta có:

\[
P(1999) = a(1999)^3 + b(1999)^2 + c(1999) + d = 2000
\]
\[
P(2000) = a(2000)^3 + b(2000)^2 + c(2000) + d = 2001
\]

Ta sẽ tính \( P(2001) \) và \( P(1998) \):

1. **Tính \( P(2001) \)**:

\[
P(2001) = a(2001)^3 + b(2001)^2 + c(2001) + d
\]

2. **Tính \( P(1998) \)**:

\[
P(1998) = a(1998)^3 + b(1998)^2 + c(1998) + d
\]

**Tính hiệu \( P(2001) - P(1998) \)**:

Sử dụng công thức chênh lệch của đa thức:

\[
P(2001) - P(1998) = [P(2001) - P(1999)] + [P(1999) - P(1998)]
\]

Với \( P(2001) - P(1999) \) và \( P(1999) - P(1998) \) đều có dạng như sau:

\[
P(2001) - P(1999) = a((2001)^3 - (1999)^3) + b((2001)^2 - (1999)^2) + c(2001 - 1999)
\]

Vì \( (x^3 - y^3) = (x-y)(x^2 + xy + y^2) \) và \( (x^2 - y^2) = (x+y)(x-y) \), ta có:

- \( 2001 - 1999 = 2 \)
- \( 2001 + 1999 = 4000 \)

Vậy:

\[
P(2001) - P(1999) = a(2)(2001^2 + 2001 \cdot 1999 + 1999^2) + b(2)(4000)
\]

Tương tự tính \( P(1999) - P(1998) \) và có thể rút ra được hai thành phần đều chia hết cho 2.

Kết hợp lại, ta có:

\[
P(2001) - P(1998) = 2 \cdot (hệ số \text{ tự nhiên})
\]

Vậy \( P(2001) - P(1998) \) là một hợp số.

Do đó ta chứng minh được rằng \( P(2001) - P(1998) \) là một hợp số.