Để giải bài toán này, ta có những thông tin sau:

- Cation R³⁺ có tổng số hạt là 37, bao gồm số proton (p), số neutron (n) và số electron (e).
- Tổng số hạt: \( p + n + e = 37 \)
- Tỉ số giữa số electron và số neutron: \( \frac{e}{n} = \frac{5}{7} \)

Từ tỉ số \( \frac{e}{n} = \frac{5}{7} \), ta có thể biểu diễn e theo n:
\[
e = \frac{5}{7} n
\]

Thay biểu thức của e vào phương trình tổng số hạt:
\[
p + n + \frac{5}{7}n = 37
\]

Kết hợp các hạng tử n:
\[
p + n + \frac{5}{7} n = p + \frac{12}{7} n = 37
\]

Giải phương trình này:
\[
p + \frac{12}{7}n = 37
\]
Nhân cả hai vế với 7 để loại bỏ mẫu:
\[
7p + 12n = 259
\]

Chúng ta có hai phương trình hiện có:
1. \( 7p + 12n = 259 \)
2. \( e = \frac{5}{7}n \)

Ta cần biện luận giá trị của p và n. Ta biết rằng \( R³⁺ \) có 3 proton bị mất (có nghĩa là: \( p = Z - 3 \) với Z là số hiệu nguyên tử của nguyên tố R). Điều này giúp xác định mối quan hệ giữa số proton p và số neutron n.

Giả sử \( p \) là số nguyên với \( Z \geq 3 \) thì số neutron n phải thỏa mãn điều kiện của chất liệu thành phần này.

Giải hệ phương trình trên, ta thử giá trị cho p:

Khi \( p = 17 \):
\[
7(17) + 12n = 259
\]
\[
119 + 12n = 259 \implies 12n = 140 \implies n = \frac{140}{12} = \frac{35}{3}
\]
Không là nguyên.

Khi \( p = 18 \):
\[
7(18) + 12n = 259
\]
\[
126 + 12n = 259 \implies 12n = 133 \implies n = \frac{133}{12}
\]
Cũng không là nguyên.

Khi \( p = 13 \):
\[
7(13) + 12n = 259
\]
\[
91 + 12n = 259 \implies 12n = 168 \implies n = 14
\]
Số nguyên và hợp lệ.

Vậy tính số e:
\[
e = \frac{5}{7} n = \frac{5}{7} \times 14 = 10
\]

Cho nên, số lượng các hạt trong cation R³⁺ là:
- Số proton (p) = 13
- Số neutron (n) = 14
- Số electron (e) = 10

Kết quả là:

- p = 13
- n = 14
- e = 10