Tính

Để giải phương trình

\[
\sin\left(\frac{x}{2}\right) \cos(x) = -1,
\]

ta có thể xem xét các bước sau:

1. **Giá trị cực hạn của hàm số**: Bởi vì \(\cos(x)\) có giá trị lớn nhất là 1 và nhỏ nhất là -1, để phương trình \(\sin\left(\frac{x}{2}\right) \cos(x)\) đạt giá trị -1, ta cần:
- \(\cos(x) = -1\)
- và \(\sin\left(\frac{x}{2}\right) = 1\).

2. **Giải \(\cos(x) = -1\)**:
- Điều này xảy ra khi \(x = (2k + 1)\pi\) với \(k \in \mathbb{Z}\).

3. **Giải \(\sin\left(\frac{x}{2}\right) = 1\)**:
- Điều này xảy ra khi \(\frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + 2m\pi\) với \(m \in \mathbb{Z}\), hoặc \(x = \pi + 4m\pi\).

4. **Kết hợp các điều kiện**:
- Ta cần tìm \(x\) thỏa mãn đồng thời cả hai điều kiện là \(x = (2k + 1)\pi\) và \(x = \pi + 4m\pi\).
- Điều này dẫn đến:
\[
(2k + 1)\pi = \pi + 4m\pi \implies 2k = 4m \implies k = 2m.
\]

5. **Kết quả**:
- Do đó, \(x = (2(2m)+1)\pi = (4m + 1)\pi\), với \(m \in \mathbb{Z}\).

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình là:

\[
x = (4m + 1)\pi, \quad m \in \mathbb{Z}.
\]