Để giải bài toán này, ta có thể làm theo những bước sau:

### a) Chứng minh rằng cung \( AB \) và cung \( AC \) bằng nhau.

1. **Giả thiết**: Tam giác \( \triangle ABC \) cân tại \( A \), nghĩa là \( AB = AC \).
2. **Lập luận về cung**: Trong một đường tròn, hai điểm \( B \) và \( C \) nằm trên đường tròn sẽ tạo ra hai cung \( AB \) và \( AC \).
3. **Số đo cung**: Khi \( AB = AC \), thì số đo cung \( AB \) sẽ bằng số đo cung \( AC \) do tính chất của đường tròn. Vì vậy, ta có:
\[
\text{số đo cung } AB = \text{số đo cung } AC
\]
Như vậy, ta đã chứng minh rằng cung \( AB \) và cung \( AC \) bằng nhau.

### b) Tính độ dài cung \( BC \), \( AB \) và \( AC \).

1. **Số đo góc**: Số đo cung nhỏ \( BC \) bằng \( 70^\circ \).
2. **Độ dài cung đường tròn**: Công thức tính độ dài cung \( l \) của một cung trong đường tròn là:
\[
l = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2\pi r
\]
trong đó \( r \) là bán kính đường tròn.

3. **Tính độ dài cung \( BC \)**:
- Bán kính \( O = 4 \) cm.
- Áp dụng công thức:
\[
l_{BC} = \frac{70}{360} \times 2\pi \times 4 \approx \frac{7}{36} \times 8\pi \approx \frac{56\pi}{36} \approx \frac{14\pi}{9} \approx 4.89 \, \text{cm}
\]

4. **Độ dài cung \( AB \) và \( AC \)**: Vì tam giác \( ABC \) cân tại \( A \), nên độ dài cung \( AB \) và \( AC \) bằng nhau. Sử dụng kết quả từ phần a) với định lý về hình quạt, ta thấy rằng:
\[
\text{Độ dài của } AB = \text{Độ dài của } AC
\]

Bây giờ bạn đã có độ dài của các cung trong bài tập này.