Để giải bài tập này, ta cần làm rõ từng yêu cầu:

**Câu 5**:

1. Cho (O) và điểm M cố định. Qua M, kẻ hai đường thẳng, đường thẳng thứ nhất cắt đường tròn tại A và B; đường thẳng thứ hai cắt đường tròn tại C và D.
2. Chứng minh rằng \( MA \cdot MB = MC \cdot MD \).

**Giải**:
- Theo định lý tia phân giác trong một đường tròn, ta có: \( MA \cdot MB \) chính là sản phẩm của khoảng cách từ M đến các điểm A và B, trong khi đó \( MC \cdot MD \) là sản phẩm của khoảng cách từ M đến các điểm C và D.
- Khi kẻ các đường thẳng từ M cắt đường tròn (O), tứ giác AMBC sẽ được tạo thành, và theo định lý về tích các đoạn thẳng cắt nhau trong hình tròn, ta có sự bình đẳng này.

**Câu 6**:

1. Cho nửa đường tròn (O) có đường kính AB và điểm C nằm ngoài nửa đường tròn. Đường thẳng CA cắt nửa đường tròn (O) tại N. Gọi H là giao điểm của AN và BM.

a) Chứng minh \( CH \) vuông góc với \( AB \).

b) Gọi I là trung điểm của CH. Chứng minh rằng MI là tiếp tuyến của nửa đường tròn (O).

**Giải**:
- a) Để chứng minh \( CH \) vuông góc với \( AB \), ta sử dụng định lý: Trong nửa đường tròn, góc tạo bởi đường kính và một điểm bất kỳ bên ngoài của nó sẽ là 90 độ. Tại H, góc CAH = 90 độ, do đó, \( CH \) vuông góc với \( AB \).

- b) Để chứng minh MI là tiếp tuyến của nửa đường tròn (O), ta có thể dùng định lý tiếp tuyến cho nửa đường tròn. Vì I là trung điểm của CH và CH vuông góc với AB, nên MI sẽ có độ dài bằng với bán kính tại điểm H. Do đó, MI sẽ là tiếp tuyến tại điểm C của nửa đường tròn.

Chúc bạn thành công trong việc giải các bài tập này!