Chúng ta có thể đưa ra phương trình cho tổng \( S \):

\[
S = \frac{2}{5} + \frac{2}{25} + \frac{2}{125} + \frac{2}{625} + \frac{2}{3125}
\]

Để đơn giản hơn, ta có thể thể hiện các phần tử trong tổng \( S \) dưới dạng lũy thừa của \( \frac{1}{5} \):

\[
S = \frac{2}{5} + \frac{2}{5^2} + \frac{2}{5^3} + \frac{2}{5^4} + \frac{2}{5^5}
\]

Ta có thể tách \( 2 \) ra ngoài:

\[
S = 2 \left( \frac{1}{5} + \frac{1}{5^2} + \frac{1}{5^3} + \frac{1}{5^4} + \frac{1}{5^5} \right)
\]

Tổng bên trong là một cấp số nhân với số hạng đầu là \( \frac{1}{5} \) và công bội là \( \frac{1}{5} \).

Tổng của một cấp số nhân có thể được tính theo công thức:

\[
T_n = a \frac{1 - r^n}{1 - r}
\]

Trong đó:
- \( a \) là số hạng đầu tiên,
- \( r \) là công bội,
- \( n \) là số hạng.

Áp dụng vào đây, ta có:

- \( a = \frac{1}{5} \)
- \( r = \frac{1}{5} \)
- \( n = 5 \)

Vậy tổng các số hạng sẽ là:

\[
\frac{1}{5} \frac{1 - \left( \frac{1}{5} \right)^5}{1 - \frac{1}{5}} = \frac{1}{5} \frac{1 - \frac{1}{3125}}{\frac{4}{5}}
\]

Làm đơn giản hóa:

\[
= \frac{1}{5} \cdot \frac{5}{4} \left( 1 - \frac{1}{3125} \right) = \frac{1}{4} \left( 1 - \frac{1}{3125} \right) = \frac{1}{4} \cdot \frac{3124}{3125} = \frac{3124}{12500}
\]

Khi đó, giá trị của \( S \) là:

\[
S = 2 \cdot \frac{3124}{12500} = \frac{6248}{12500}
\]

Cuối cùng:

\[
S = \frac{6248}{12500}
\]

Đây là kết quả cuối cùng cho tổng \( S \).