Để tính tổng \( S = \frac{2}{5} + \frac{2}{25} + \frac{2}{125} + \frac{2}{625} + \frac{2}{3125} \), chúng ta nhận thấy rằng các số hạng trong biểu thức là một dãy số hình học với số hạng đầu tiên \( a = \frac{2}{5} \) và tỷ lệ \( r = \frac{1}{5} \).

Số hạng thứ \( n \) của dãy số hình học này có dạng:

\[
S_n = a \cdot r^{n-1}
\]

Dãy số này có 5 số hạng, do đó chúng ta có thể tính tổng của nó theo công thức tổng của dãy số hình học:

\[
S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r}
\]

Áp dụng công thức này vào bài toán với \( a = \frac{2}{5} \), \( r = \frac{1}{5} \), và \( n = 5 \):

\[
S = \frac{\frac{2}{5} \left(1 - \left(\frac{1}{5}\right)^5\right)}{1 - \frac{1}{5}}
\]

Tính \( r^5 \):

\[
\left(\frac{1}{5}\right)^5 = \frac{1}{3125}
\]

Thay vào công thức:

\[
S = \frac{\frac{2}{5} \left(1 - \frac{1}{3125}\right)}{\frac{4}{5}} = \frac{\frac{2}{5} \cdot \frac{3124}{3125}}{\frac{4}{5}}
\]

Bỏ qua \( \frac{5}{5} \):

\[
S = \frac{2 \cdot 3124}{4 \cdot 3125} = \frac{3124}{6250}
\]

Cuối cùng, rút gọn phân số:

\[
\frac{3124 \div 2}{6250 \div 2} = \frac{1562}{3125}
\]

Vậy tổng \( S = \frac{1562}{3125} \).