Tìm số tự nhiên có 3 chữ số, biết rằng nếu chuyển chữ số cuối lên trước chữ số đầu ta được số mới hơn số đã cho 765 đơn vị

Giả sử số tự nhiên có 3 chữ số cần tìm là \(abc\), trong đó \(a\), \(b\), \(c\) lần lượt là các chữ số hàng trăm, hàng chục và hàng đơn vị. Khi chuyển chữ số cuối \(c\) lên trước \(a\), chúng ta sẽ có số mới là \(cab\).

Ta có các biểu thức sau:
- Số ban đầu: \(100a + 10b + c\)
- Số mới: \(100c + 10a + b\)

Theo đề bài, số mới hơn số đã cho 765 đơn vị, nên ta có phương trình:
\[
100c + 10a + b = 100a + 10b + c + 765
\]

Biến đổi phương trình, ta có:
\[
100c + 10a + b - c - 100a - 10b = 765
\]
\[
99c - 90a - 9b = 765
\]

Chia cả hai vế cho 9:
\[
11c - 10a - b = 85
\]

Chúng ta có phương trình:
\[
b = 11c - 10a - 85
\]

Chữ số \(b\) phải là một chữ số tự nhiên (từ 0 đến 9). Do đó, ta xem xét giá trị của \(a\) và \(c\).

- Nếu \(a = 1\):
\[
b = 11c - 10 - 85 = 11c - 95
\]
Để \(b\) là chữ số tự nhiên, \(11c - 95\) phải từ 0 đến 9. Giải bất phương trình:
\[
0 \leq 11c - 95 \leq 9
\]
\[
95 \leq 11c \leq 104
\]
\[
\frac{95}{11} \leq c \leq \frac{104}{11}
\]
Từ đó:
\[
8.6363 \leq c \leq 9.4545 \Rightarrow c = 9
\]
Thay \(c = 9\) vào \(b\):
\[
b = 11 \cdot 9 - 10 \cdot 1 - 85 = 99 - 10 - 85 = 4
\]
Vậy ta có: \(a = 1\), \(b = 4\), \(c = 9\), số là \(149\).

- Kiểm tra:
Số mới khi chuyển \(9\) lên trước là \(914\).
\[
914 - 149 = 765
\]
Kết quả đúng!

Tiếp theo, kiểm tra các giá trị khác của \(a\) từ 2 đến 9, ta sẽ không tìm được số nào thỏa mãn.

Do đó, số tự nhiên có 3 chữ số cần tìm là: **149**.