Gọi số viên bi của Hòa là \( x \) và số viên bi của Bình là \( y \).

Theo đề bài, ta có hai điều kiện sau:

1. Tổng số viên bi của Hòa và Bình là 120:
\[
x + y = 120
\]

2. Nếu Hòa cho Bình 10 viên bi, thì số viên bi của Hòa và Bình sẽ bằng nhau:
\[
x - 10 = y + 10
\]

Từ biểu thức thứ hai, ta có thể biến đổi như sau:
\[
x - y = 20
\]

Bây giờ ta có hai phương trình:
1. \( x + y = 120 \)
2. \( x - y = 20 \)

Ta có thể giải hệ phương trình này bằng cách cộng hai phương trình lại với nhau:
\[
(x + y) + (x - y) = 120 + 20
\]
\[
2x = 140 \implies x = 70
\]

Bây giờ, ta thay \( x = 70 \) vào phương trình \( x + y = 120 \):
\[
70 + y = 120 \implies y = 50
\]

Vậy Hòa có 70 viên bi, và Bình có 50 viên bi.

**Kết luận: Hòa có 70 viên bi.**