Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng định lý Pythagoras cho tam giác vuông MNP (vuông tại M).

### 1. Tính độ dài cạnh MP

Theo định lý Pythagoras:

\[ MN^2 + MP^2 = NP^2 \]

Chúng ta đã biết các cạnh sau:
- \( MN = 5 \, cm \)
- \( NP = 13 \, cm \)

Thay giá trị vào công thức:

\[ 5^2 + MP^2 = 13^2 \]
\[ 25 + MP^2 = 169 \]
\[ MP^2 = 169 - 25 \]
\[ MP^2 = 144 \]
\[ MP = \sqrt{144} = 12 \, cm \]

### 2. Tính số đo góc N^ và P^

Chúng ta sẽ sử dụng hàm lượng giác để tìm số đo của các góc.

#### Tính góc N^

Sử dụng định nghĩa sin:

\[
\sin N = \frac{MN}{NP} = \frac{5}{13}
\]

Áp dụng hàm sin:

\[
N^ = \arcsin\left(\frac{5}{13}\right)
\]

Tính giá trị xấp xỉ:

\[
N^ \approx 22.6^\circ
\]

#### Tính góc P^

Sử dụng định nghĩa cos:

\[
\cos P = \frac{MP}{NP} = \frac{12}{13}
\]

Áp dụng hàm cos:

\[
P^ = \arccos\left(\frac{12}{13}\right)
\]

Tính giá trị xấp xỉ:

\[
P^ \approx 67.4^\circ
\]

### Kết quả cuối cùng

- Độ dài cạnh \( MP = 12 \, cm \)
- Số đo góc \( N^ \approx 23^\circ \) (làm tròn đến độ)
- Số đo góc \( P^ \approx 67^\circ \) (làm tròn đến độ)

Hy vọng giáo trình đã rõ ràng và hữu ích!