a) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 81.

Với x = 81, ta có:

A = √81 + 6/√81 - 3

= 9 + 6/9 - 3

= 9 + 2/2

= 9 + 1

= 10

Vậy giá trị của biểu thức A khi x = 81 là 10.

b) Rút gọn biểu thức B.

B = (3√x - 1/√2 - 2 + 2√x + √x - 6/√4 - √x) / (√x - 3√x - 2)

= (3√x - 1 - 2√2 + 4√x + √x - 6 - 2√x) / (√x - 3√x - 2)

= (6√x - 9 - 2√2) / (√x - 3√x - 2)

= (6√x - 9 - 2√2) / (-2√x - 2)

= -(6√x - 9 - 2√2) / (2√x + 2)

c) Tìm x để B⋅(√x−3)=−x−2√x+4.

B⋅(√x−3)=−x−2√x+4

⇒ -(6√x - 9 - 2√2) / (2√x + 2) ⋅ (√x - 3) = -x - 2√x + 4

⇒ (6√x - 9 - 2√2) ⋅ (√x - 3) = (2√x + 2) ⋅ (x + 2√x - 4)

⇒ 6x - 18√x - 9√x + 27 - 2√2x + 6√2 = 2x√x + 4√x + 2x + 4√x - 8

⇒ 2x√x - 10√x - 2√2x + 2x - 35 + 6√2 = 0

Phương trình này khá phức tạp, cần giải bằng phương pháp số học hoặc sử dụng công cụ giải phương trình. Ta sẽ tìm nghiệm x thỏa mãn điều kiện x ≥ 0, x ≠ 9, x ≠ 4.

d) Tìm giá trị của x để biểu thức AB nhận giá trị nguyên.

AB = (√x + 6/√x - 3) ⋅ (-(6√x - 9 - 2√2) / (2√x + 2))

= -(6√x + 36 - 9√x - 18 - 2√2x + 6√2) / (2√x + 2)

= -(2√2x - 3√x + 18 - 6√2) / (2√x + 2)

Để AB nhận giá trị nguyên, thì tử số phải chia hết cho mẫu số.

Ta có: 2√2x - 3√x + 18 - 6√2 = (2√2 - 3)√x + 18 - 6√2

Để biểu thức trên chia hết cho 2√x + 2, thì (2√2 - 3)√x + 18 - 6√2 phải chia hết cho 2√x + 2.

Ta có thể thử các giá trị của x để tìm nghiệm nguyên. Hoặc, ta có thể sử dụng phương pháp chia đa thức để tìm điều kiện của x để biểu thức trên chia hết cho 2√x + 2.

Tuy nhiên, việc tìm nghiệm nguyên của phương trình này khá phức tạp và cần thêm thời gian để giải quyết.