Để chứng minh các đẳng thức trong bài toán này, ta sẽ giải từng phần một.

### a) Chứng minh đẳng thức \( 9 + 4\sqrt{5} = (\sqrt{5} + 2)^2 \)

1. Bên trái: \( 9 + 4\sqrt{5} \).
2. Bên phải: Tính \( (\sqrt{5} + 2)^2 \):
\[
(\sqrt{5} + 2)^2 = (\sqrt{5})^2 + 2 \cdot \sqrt{5} \cdot 2 + 2^2 = 5 + 4\sqrt{5} + 4 = 9 + 4\sqrt{5}
\]
Vậy đẳng thức đúng.

### b) Chứng minh đẳng thức \( \sqrt{9 + 4\sqrt{5}} - \sqrt{5} = 2 \)

1. Tính bên trái:
\[
\sqrt{9 + 4\sqrt{5}} - \sqrt{5}
\]
2. Đặt \( x = \sqrt{9 + 4\sqrt{5}} \). Ta cần giải phương trình:
\[
x - \sqrt{5} = 2 \implies x = 2 + \sqrt{5}
\]
3. Bình phương hai vế:
\[
(2 + \sqrt{5})^2 = 4 + 4\sqrt{5} + 5 = 9 + 4\sqrt{5}
\]
Vậy \( \sqrt{9 + 4\sqrt{5}} = 2 + \sqrt{5} \) và đẳng thức đúng.

### c) Chứng minh đẳng thức \( \sqrt{32 - 8\sqrt{7}} - \sqrt{7} = 4 \)

1. Giải phương trình:
\[
\sqrt{32 - 8\sqrt{7}} - \sqrt{7} = 4 \implies \sqrt{32 - 8\sqrt{7}} = 4 + \sqrt{7}
\]
2. Bình phương hai vế:
\[
(4 + \sqrt{7})^2 = 16 + 8\sqrt{7} + 7 = 23 + 8\sqrt{7}
\]
3. Vì \( 32 - 8\sqrt{7} = 23 + 8\sqrt{7} \) không đúng (chúng khác nhau), nên đẳng thức này không đúng.

### d) Chứng minh đẳng thức \( \sqrt{a + 4} - 2 + \sqrt{a - 4} - 2 = 4 \quad (với \; 2 \leq a \leq 4) \)

Phương trình này có thể cần điều chỉnh lại vì khoản trừ không đúng theo cách viết. Ta xem xét cách khác. Nhưng nếu kiểm nghiệm, với: \( a = 4 \):
\[
\sqrt{4 + 4} - 2 + \sqrt{4 - 4} - 2
\]
mà rõ ràng không đúng tính chất. Cần có điều kiện của \( a \), bởi vì căn bậc hai chỉ dương cho \( a > 4 \).

Vậy, không thể chứng minh đúng với điều kiện đó. Nếu bạn cho biết rõ hơn, mình có thể giúp bạn!

### Tổng kết
- Đẳng thức a) và b) đúng.
- Đẳng thức c) không đúng.
- Đẳng thức d) cần điều kiện thích hợp hơn.