Để giải hai hệ phương trình này, ta sẽ giải từng hệ một.

**Hệ phương trình 1:**
\[
\begin{cases}
\frac{1}{x+1} + \frac{1}{y-2} = 3 \\
\frac{2}{x+1} + \frac{1}{y-2} = 1
\end{cases}
\]

Gọi:
\[
a = \frac{1}{x+1}, \quad b = \frac{1}{y-2}
\]
Vậy hệ phương trình trở thành:
\[
\begin{cases}
a + b = 3 \\
2a + b = 1
\end{cases}
\]
Giải hệ này, từ phương trình thứ nhất:
\[
b = 3 - a
\]
Thay vào phương trình thứ hai:
\[
2a + (3 - a) = 1 \implies 2a + 3 - a = 1 \implies a = -2
\]
Thay \( a \) vào phương trình đầu:
\[
-2 + b = 3 \implies b = 5
\]

Vì \( a = \frac{1}{x+1} \) và \( b = \frac{1}{y-2} \), ta có:
\[
\frac{1}{x+1} = -2 \implies x + 1 = -\frac{1}{2} \implies x = -\frac{3}{2}
\]
\[
\frac{1}{y-2} = 5 \implies y - 2 = \frac{1}{5} \implies y = 2 + \frac{1}{5} = \frac{11}{5}
\]

Giá trị cần tìm là:
\[
\frac{1}{x+1} = -2 \quad \text{và} \quad \frac{1}{y-2} = 5
\]

---

**Hệ phương trình 2:**
\[
\begin{cases}
\frac{1}{x+1} + \frac{4}{y+2} = 2 \\
\frac{2}{x+1} + \frac{1}{y+2} = 1
\end{cases}
\]

Gọi:
\[
c = \frac{1}{x+1}, \quad d = \frac{1}{y+2}
\]
Hệ phương trình trở thành:
\[
\begin{cases}
c + 4d = 2 \\
2c + d = 1
\end{cases}
\]
Giải hệ này, từ phương trình thứ hai:
\[
d = 1 - 2c
\]
Thay vào phương trình đầu:
\[
c + 4(1 - 2c) = 2 \implies c + 4 - 8c = 2 \implies -7c = -2 \implies c = \frac{2}{7}
\]
Thay vào phương trình thứ hai:
\[
d = 1 - 2 \left(\frac{2}{7}\right) = 1 - \frac{4}{7} = \frac{3}{7}
\]

Vì \( c = \frac{1}{x+1} \) và \( d = \frac{1}{y+2} \), ta có:
\[
\frac{1}{x+1} = \frac{2}{7} \implies x + 1 = \frac{7}{2} \implies x = \frac{5}{2}
\]
\[
\frac{1}{y+2} = \frac{3}{7} \implies y + 2 = \frac{7}{3} \implies y = \frac{7}{3} - 2 = \frac{1}{3}
\]

Giá trị cần tìm là:
\[
\frac{1}{x+1} = \frac{2}{7} \quad \text{và} \quad \frac{1}{y+2} = \frac{3}{7}
\]

Tóm lại:

1. **Hệ 1:** \( x = -\frac{3}{2}, y = \frac{11}{5} \)

2. **Hệ 2:** \( x = \frac{5}{2}, y = \frac{1}{3} \)