Để chứng minh rằng \(3^{n^2} + 3^n\) chia hết cho 10 với \(n \in \mathbb{N}^*\), ta sẽ sử dụng tính chất của số dư theo modulo 10.

### Bước 1: Tính modulo 10

Trước tiên, ta xem xét các lũy thừa của \(3\) theo modulo 10:
- \(3^1 \equiv 3 \mod 10\)
- \(3^2 \equiv 9 \mod 10\)
- \(3^3 \equiv 7 \mod 10\)
- \(3^4 \equiv 1 \mod 10\)

Ta nhận thấy rằng các số dư này lặp lại với chu kỳ 4:
- Với \(n \equiv 1 \mod 4\): \(3^n \equiv 3 \mod 10\)
- Với \(n \equiv 2 \mod 4\): \(3^n \equiv 9 \mod 10\)
- Với \(n \equiv 3 \mod 4\): \(3^n \equiv 7 \mod 10\)
- Với \(n \equiv 0 \mod 4\): \(3^n \equiv 1 \mod 10\)

### Bước 2: Xét \(3^{n^2}\)

Tương tự, ta cũng tìm số dư của \(3^{n^2}\):
- \(n^2\) sẽ có cùng số dư với \(n\) khi chia cho 4 (bởi vì \(n^2 \equiv n \mod 4\)).
- Do đó, ta cũng có các số dư cho \(3^{n^2}\) tương ứng với \(n^2\) modulo 4.

### Bước 3: Cộng lại

Ta cần tính \(3^{n^2} + 3^n \mod 10\):
- **Khi \(n \equiv 0 \mod 4\)**: \(3^n \equiv 1\) và \(3^{n^2} \equiv 1 \Rightarrow 1 + 1 \equiv 2 \mod 10\)
- **Khi \(n \equiv 1 \mod 4\)**: \(3^n \equiv 3\) và \(3^{n^2} \equiv 3 \Rightarrow 3 + 3 \equiv 6 \mod 10\)
- **Khi \(n \equiv 2 \mod 4\)**: \(3^n \equiv 9\) và \(3^{n^2} \equiv 9 \Rightarrow 9 + 9 \equiv 18 \equiv 8 \mod 10\)
- **Khi \(n \equiv 3 \mod 4\)**: \(3^n \equiv 7\) và \(3^{n^2} \equiv 7 \Rightarrow 7 + 7 \equiv 14 \equiv 4 \mod 10\)

Vì vậy, trong tất cả các trường hợp, ta không thấy chia hết cho 10. Như vậy, câu hỏi có thể có sự nhầm lẫn đầu vào. Để kiểm tra lại cho chắc chắn.

### Kết luận

Do đó, \(3^{n^2} + 3^n\) không phải lúc nào cũng chia hết cho 10 với mọi \(n \in \mathbb{N}^*\).

Nếu bạn cần tính cho trường hợp khác, vui lòng cho biết thêm.