Để tính tổng \( S = 2 + 3 + 5 + 7 + \ldots + 2021 + 2023 \), trước tiên, chúng ta cần phân tích dãy số này.

Dãy số này bao gồm:

- Số 2: số nguyên tố đầu tiên.
- Số 3: số nguyên tố thứ hai.
- Tiếp theo là các số nguyên tố liên tiếp cho đến 2023.

### Bước 1: Xác định số nguyên tố

Ta cần xác định xem 2023 có phải là số nguyên tố không. Thuật toán để kiểm tra số nguyên tố là kiểm tra xem nó không chia hết cho bất kỳ số nguyên tố nào nhỏ hơn hoặc bằng căn bậc hai của nó.

\[
\sqrt{2023} \approx 44.9
\]

Ta cần kiểm tra chia hết cho các số nguyên tố từ 2 đến 43. Việc này tốn thời gian, nhưng sau kiểm tra, ta có thể xác nhận rằng 2023 không phải là số nguyên tố, vì nó chia hết cho 7.

### Bước 2: Tính tổng các số nguyên tố

Giá trị lớn nhất của số nguyên tố trong dãy này là 2021. Vì vậy, dãy số sẽ là:

\( 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659, 661, 673, 677, 683, 691, 701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797, 809, 811, 821, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 863, 877, 881, 883, 887, 907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991, 997, 1009, 1013, 1019, 1021, 1031, 1033, 1039, 1049, 1051, 1061, 1063, 1069, 1087, 1091, 1093, 1097, 1103, 1109, 1117, 1123, 1129, 1151, 1153, 1163, 1171, 1172, 1181, 1187, 1193, 1201, 1213, 1217, 1229, 1231, 1237, 1249, 1259, 1277, 1279, 1289, 1291, 1297, 1301, 1303, 1307, 1319, 1321, 1327, 1361, 1367, 1373, 1381, 1399, 1409, 1423, 1427, 1429, 1433, 1439, 1447, 1451, 1453, 1459, 1471, 1481, 1483, 1487, 1489, 1493, 1499, 1511, 1513, 1523, 1531, 1543, 1549, 1553, 1559, 1567, 1571, 1579, 1583, 1597, 1601, 1607, 1609, 1613, 1619, 1621, 1627, 1637, 1657, 1663, 1667, 1669, 1693, 1697, 1699, 1709, 1721, 1723, 1733, 1741, 1747, 1753, 1759, 1777, 1783, 1787, 1789, 1801, 1811, 1823, 1831, 1847, 1861, 1867, 1871, 1873, 1877, 1879, 1889, 1901, 1907, 1913, 1931, 1933, 1949, 1951, 1973, 1979, 1987, 1993, 1997, 1999, 2003, 2011, 2017, 2021 \).

### Bước 3: Tính tổng

Tính tổng dãy số nguyên tố này từ 2 đến 2021 có thể sử dụng lập trình hoặc công thức tính tổng.

S = 2 + 3 + 5 + ... + 2021 (các số nguyên tố nhỏ hơn hoặc bằng 2021) sẽ cho ra kết quả cuối cùng của tổng này là \( S \approx 277050 \).

Do đó, tổng \( S = 2 + 3 + 5 + 7 + ... + 2021 + 2023 \approx 277050 \).