Để tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số \( y = \frac{\cos x + 1}{\sin x - 2} \), ta sẽ phân tích hàm này.

### Bước 1: Xác định miền xác định của hàm số

Hàm số này bị triệt tiêu khi mẫu số bằng 0, tức là \( \sin x - 2 = 0 \). Điều này không xảy ra vì giá trị của \( \sin x \) luôn nằm trong khoảng \([-1, 1]\). Do đó, hàm số luôn xác định với mọi giá trị của \( x \).

### Bước 2: Tính giới hạn của hàm số khi x thay đổi

Ta sẽ phân tích hành vi của hàm số này khi \( x \) thay đổi trong chu kỳ \( [0, 2\pi] \) hoặc hơn.

- Khi \( \cos x + 1 \) đạt giá trị lớn nhất: \( \cos x + 1 = 2 \) khi \( x = 0, 2\pi \).
- Khi \( \cos x + 1 = 0 \) đạt giá trị nhỏ nhất: \( \cos x + 1 = 0 \) khi \( x = \pi \).

- Giá trị của \( \sin x \) luôn nằm trong khoảng từ -1 đến 1, do đó \( \sin x - 2 \) sẽ luôn âm, đạt giá trị nhỏ nhất tại \( \sin x = 1 \) (khoảng giá trị là -1). Khi đó:
\[
\sin(\frac{\pi}{2}) - 2 = 1 - 2 = -1.
\]

### Bước 3: Tính GTLN và GTNN

- Tại \( x = 0 \) hoặc \( x = 2\pi \):
\[
y = \frac{2}{-1} = -2.
\]

- Tại \( x = \pi \):
\[
y = \frac{0}{-1} = 0.
\]

Hàm này không có giá trị lớn hơn tại bất kỳ điểm nào khác vì \( \cos x + 1 \) không đạt giá trị lớn hơn 2, trong khi \( \sin x - 2 \) luôn âm.

### Kết luận

- Giá trị lớn nhất (GTLN) của hàm số là \( 0 \).
- Giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số là \( -2 \).

Do đó:

- **GTLN = 0**
- **GTNN = -2**