Để chứng minh bất đẳng thức \(-2x^2 + 4x - 3 < 0\) cho mọi số thực \(x\), ta bắt đầu bằng cách đặt đa thức \(-2x^2 + 4x - 3\) thành một dạng dễ phân tích hơn.

Thực hiện khai thác này bằng cách tìm nghiệm của phương trình \(-2x^2 + 4x - 3 = 0\).

1. **Tính Delta**:
\[
\Delta = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot (-2) \cdot (-3) = 16 - 24 = -8
\]

2. **Phân tích nghiệm**:
Vì \(\Delta < 0\), phương trình \(-2x^2 + 4x - 3\) không có nghiệm thực, điều này có nghĩa là dấu của đa thức này sẽ không thay đổi cho tất cả các giá trị của \(x\).

3. **Xét hệ số dẫn đầu**:
Hệ số của \(x^2\) trong đa thức này là \(-2\) (hệ số âm), cho thấy rằng đồ thị của hàm số này là một parabola quay ngược xuống.

Do đó, hàm số này sẽ có giá trị âm cho mọi giá trị của \(x\).

Kết luận, chúng ta có:
\[
-2x^2 + 4x - 3 < 0 \quad \text{với mọi } x \in \mathbb{R}.
\]

Điều này đã chứng minh được yêu cầu.